Question

【題目】已知：正方形中，，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長線）于點(diǎn)．

當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖1），易證．

（1）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖2），線段和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明．

（2）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段和之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想．

Answer 1

【答案】（1），證明見解析（2）

【解析】

（1）BM+DN=MN成立，證得B、E、M三點(diǎn)共線即可得到△AEM≌△ANM，從而證得ME=MN．

（2）DN-BM=MN．證明方法與（1）類似．

（1）BM+DN=MN成立．

證明：如圖，把△ADN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABE，則可證得E、B、M三點(diǎn)共線．

∴∠EAM=90°-∠NAM=90°-45°=45°，

又∵∠NAM=45°，

∴在△AEM與△ANM中，

∴△AEM≌△ANM（SAS），

∴ME=MN，

∵ME=BE+BM=DN+BM，

∴DN+BM=MN；

（2）DN-BM=MN．

在線段DN上截取DQ=BM，如圖，

在△ADQ與△ABM中，

∵，

∴△ADQ≌△ABM（SAS），

∴∠DAQ=∠BAM，

∴∠QAN=∠MAN．

在△AMN和△AQN中，

∴△AMN≌△AQN（SAS），

∴MN=QN，

∴DN-BM=MN．