Question

如圖．直線y=-x+b（b＞0）與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，連接OA、OB，AM⊥y軸于M．BN⊥x軸于N；
（1）證明：①OA=OB；②△AOM≌△BON；
（2）若∠AOB=45°．
①求S_△AOB（用含K的代數(shù)式表示）；
②當(dāng)b=2時(shí)，延長(zhǎng)MA，NB交于點(diǎn)P，求P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）（x₂，y₂），聯(lián)立兩函數(shù)解析式整理得到關(guān)于x的一元二次方程，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)以及根與系數(shù)的關(guān)系列式可得x₁=y₂，x₂=y₁，然后利用“邊角邊”證明△AOM和△BON全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OA=OB；
（2）①過(guò)O作OC⊥AB于點(diǎn)C，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得∠AOC=∠BOC=22.5°，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠AOM=∠BON=22.5°，然后利用“角角邊”證明△AOM、△AOC、△BOC、△BON全等，根據(jù)全等三角形的面積相等可得△AOB的面積等于△AOM與△BON的面積的和，再根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的何意義解答；
②設(shè)直線AB與y軸的交點(diǎn)為D，利用直線解析式求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而得到OD的長(zhǎng)度，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出OC的長(zhǎng)度，也就是OM、ON的長(zhǎng)度，然后根據(jù)點(diǎn)P在第一象限寫出坐標(biāo)即可．
解答：（1）證明：設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）（x₂，y₂），
聯(lián)立得，x²-bx+k=0，
∴x₁•x₂=k，
又∵點(diǎn)A、B都在雙曲線y=上，
∴x₁•y₁=k，x₂•y₂=k，
∴x₁=y₂，x₂=y₁，
即AM=BN，OM=ON，
∵AM⊥y軸于M．BN⊥x軸于N，
∴∠AMO=∠BNO=90°，
在△AOM和△BON中，
∵，
∴△AOM≌△BON（SAS），
∴OA=OB，
即：①OA=OB；②△AOM≌△BON；

（2）解：①如圖，過(guò)O作OC⊥AB于點(diǎn)C，
∵OA=OB，∠AOB=45°，
∴∠AOC=∠BOC=22.5°，
∵△AOM≌△BON（已證），
∴∠AOM=∠BON=（90°-45°）=22.5°，
∴△AOM≌△AOC≌△BOC≌△BON（AAS），
∴S_△AOB=S_△AOM+S_△BON，
∵S_△AOM=x₁•y₁=k，S_△BON=x₂•y₂=k，
∴S_△AOB=k+k=k；
②如圖，設(shè)直線AB與y軸的交點(diǎn)為D，
∵b=2，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=-0+b=b=2，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2），
∴OD=2，
又∵∠COD=22.5°×2=45°，OC⊥AB，
∴OC=×2=，
∴OM=ON=，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了反比例函數(shù)的問(wèn)題，主要利用了聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)的方法，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，考慮利用根與系數(shù)的關(guān)系的關(guān)系求解是本題的關(guān)鍵，也是突破口．