Question

已知開口向上的拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A（-3，0）、B（1，0）兩點，與y軸交于C點，∠ACB不小于90°．
（1）求點C的坐標（用含a的代數式表示）；
（2）求系數a的取值范圍；
（3）設拋物線的頂點為D，求△BCD中CD邊上的高h的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A、B的坐標代入拋物線的解析式中，即可求出c的值，也就得出了C點的坐標；
（2）由于拋物線的解析式中二次項系數的絕對值越大開口越小，因此可計算出當∠ACB=90°時a的取值進而來求a的取值范圍．當∠ACB=90°時，根據射影定理可求出OC的長，根據（1）中表示C點坐標的式子可得出此時a的值．因此a的取值范圍就應該是0到這個值之間（a≠0）；
（3）延長DC交x軸于H，過B作BM⊥DH于M，那么BM就是所求的h；先根據拋物線的解析式求出拋物線的頂點坐標，過D作DG⊥y軸于G，根據相似三角形DCG和HCO不難求出OH=3，那么BH=2，因此在直角三角形HBM中，要想使BM最長，就需要使∠OHC最大，即OC要最長，根據（2）a的取值范圍即可得出a的最大值，也就能求出此時∠BHM的正弦值，進而可求出BM的最大值．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c過點A（-3，0），B（1，0），
∴
消去b，得c=-3a
∴C的坐標為（0，-3a）；

（2）當∠ACB=90°時
∠AOC=∠BOC=90°
∠OBC+∠BCO=90°，∠ACO+∠BCO=90°
∴∠ACO=∠OBC
∴△AOC∽△COB
∴
即OC²=AO•OB
∵AO=3，OB=1
∴OC=
∵∠ACB不小于90°
∴OC≤
即-c≤
由（1）得3a≤
∴a≤
又∵a＞0
∴a的取值范圍為0＜a≤；

（3）作DG⊥y軸于點G，延長DC交x軸于點H，如圖，
∵拋物線y=ax²+bx+c交x軸于A（-3，0），B（1，0）
∴拋物線的對稱軸為x=-1
即-=-1，所以b=2a
又由（1）有c=-3a
∴拋物線方程為y=ax²+2ax-3a
∴D點坐標為（-1，-4a）
∴CO=3a，GC=a，DG=1
∵DG∥OH
∴△DCG∽△HCO
∴，即
∴OH=3
∴直線DC過定點H（3，0）
過B作BM⊥DH，垂足為M，即BM=h
∴h=HBsin∠OHC=2sin∠OHC
∵0＜CO≤
∴0°＜∠OHC≤30°
∴0＜sin∠OHC≤
∴0＜h≤1
∴h的最大值為1．
點評：本題主要考查了相似三角形和二次函數的綜合應用，主要考查學生數形結合的數學思想方法．