Question

【題目】（1）如圖1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且點D在BC邊上滑動（點D不與點B，C重合），連接EC，

①則線段BC，DC，EC之間滿足的等量關系式為　 　；

②求證：BD2+CD2＝2AD2；

（2）如圖2，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）①BC＝DC+EC，理由見解析；②證明見解析；（2）6.

【解析】

(1)證明△BAD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質解答;

(2)根據(jù)全等三角形的性質得到BD＝CE，∠ACE＝∠B，得到∠DCE＝90°，根據(jù)勾股定理計算即可;

(3)作AE⊥AD，使AE＝AD，連接CE，DE，證明△BAD≌△CAE，得到BD＝CE＝9，根據(jù)勾股定理計算即可.

（1）①解：BC＝DC+EC，理由如下：

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，

即∠BAD＝∠CAE，

在△BAD和△CAE中，，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD＝EC，

∴BC＝DC+BD＝DC+EC，；

故答案為：BC＝DC+EC；

②證明：∵Rt△ABC中，AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB＝45°，

由（1）得，△BAD≌△CAE，

∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，

∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，

∴CE2+CD2＝ED2，

在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2，

又AD＝AE，

∴BD2+CD2＝2AD2；

（2）解：作AE⊥AD，使AE＝AD，連接CE，DE，如圖2所示：

∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，

即∠BAD＝∠CAE，

在△BAD與△CAE中，，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD＝CE＝9，

∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，

∴∠EDC＝90°，

∴DE＝＝＝6，

∵∠DAE＝90°，

∴AD＝AE＝DE＝6．