【題目】如圖,ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形,P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn),由A向C運(yùn)動(dòng)(與A、C不重合),Q是CB延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn),與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由B向CB延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)(Q不與B重合),過(guò)P作PEAB于E,PFBC交AB于F,連接PQ交AB于D.

(1)當(dāng)BQD=30°時(shí),求AP的長(zhǎng);

(2)當(dāng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段ED的長(zhǎng)始終保持不變,試求出ED的長(zhǎng)度.

【答案】(1)2;(2)3.

【解析】

試題分析:(1)由ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形,可知ACB=60°,再由BQD=30°可知QPC=90°,設(shè)AP=x,則PC=6x,QB=x,在RtQCP中,BQD=30°,PC=QC,即6x=(6+x),求出x的值即可;

(2)作QGAB,交直線AB于點(diǎn)G,連接QE,PG,由點(diǎn)P、Q做勻速運(yùn)動(dòng)且速度相同,可知AP=BQ,再根據(jù)全等三角形的判定定理得出APE≌△BQG,再由AE=BG,PE=QG且PEQG,可知四邊形PEQG是平行四邊形,進(jìn)而可得出EB+AE=BE+BG=AB,DE=AB,由等邊ABC的邊長(zhǎng)為6,可得出DE=3.

試題解析:(1)∵△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形,∴∠ACB=60°,∵∠BQD=30°∴∠QPC=90°,設(shè)AP=x,則PC=6x,QB=x,QC=QB+BC=6+x,在RtQCP中,BQD=30°,PC=QC,即6x=(6+x),解得x=2,AP=2;(2)作QGAB,交直線AB于點(diǎn)G,連接QE,PG,又PEAB于E,∴∠DGQ=AEP=90°,點(diǎn)P、Q速度相同,AP=BQ,∵△ABC是等邊三角形,∴∠A=ABC=GBQ=60°,在APE和BQG中,∵∠AEP=BGQ=90°,∴△APE≌△BQG(AAS),AE=BG,PE=QG且PEQG,四邊形PEQG是平行四邊形,DE=EG,EB+AE=BE+BG=AB=EG,DE=AB,又等邊ABC的邊長(zhǎng)為6,DE=3,故運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段ED的長(zhǎng)始終為3.

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1)直接寫(xiě)出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的對(duì)稱軸;

2)如圖2,連接BC,與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E,點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)PPFDE交拋物線于點(diǎn)F,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m;用含m的代數(shù)式表示線段PF的長(zhǎng);并求出當(dāng)m為何值時(shí),四邊形PEDF為平行四邊形?

3)如圖3,連接AC,在x軸上是否存在點(diǎn)Q,使ACQ為等腰三角形,若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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