Question

4．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑作⊙O交BC于點D，過點D作⊙O的切線，交AB于點E，交CA的延長線于點F．
（1）求證：EF⊥AB；
（2）若∠C=30°，EF=$\sqrt{6}$，求EB的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，AD，只要證明OD是△ABC中位線即可解決問題．
（2）首先證明AE是△ODF中位線，在Rt△AEF中求出AE，再求出OD，根據(jù)AB=2OD，求出AB即可問題．

解答 （1）證明：連接OD，AD，

∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ADC=90°．
又∵AB=AC，
∴CD=DB．又CO=AO，
∴OD∥AB．
∵FD是⊙O的切線，
∴OD⊥DF．∴FE⊥AB．

（2）解：∵∠C=30°，
∴∠AOD=60°，
在Rt△ODF中，∠ODF=90°，
∴∠F=30°，
∴OA=OD=$\frac{1}{2}$OF，
在Rt△AEF中，∠AEF=90°，∠F=30°
∵EF=$\sqrt{6}$，
∴AE=EF•tan30°=$\sqrt{2}$．
∵OD∥AB，OA=OC=AF，
∴OD=2AE=2$\sqrt{2}$，AB=2OD=4$\sqrt{2}$，
∴EB=3$\sqrt{2}$．

點評 本題考查切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的中位線定理/銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用這些知識解決問題，屬于中考�？碱}型．