Question

如圖，以△ABC的直角邊AB為直徑的半圓O與斜邊AC交于點D，E是BC邊的中點．若AD、AB的長是方程x²-6x+8=0的兩個根，則圖中陰影部分的面積為

 

．

Answer 1

考點：扇形面積的計算,解一元二次方程-因式分解法,切線的判定與性質(zhì)

專題：計算題

分析：先利用因式分解法解方程求出AD、AB的長，然后連接OD、BD、OE，并判定△AOD是等邊三角形，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得BD⊥AC，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DE=

1

2

BC=BE，再根據(jù)到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上可得OE垂直平分BD，然后根據(jù)勾股定理求出BD的長，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出BC的長，從而得到BE的長度，最后根據(jù)陰影部分的面積等于四邊形OBED的面積減去扇形BOD的面積，列式進行計算即可求解．

解答：解：x²-6x+8=0，
（x-2）（x-4）=0，
∴x-2=0，x-4=0，
解得x₁=2，x₂=4，
∴AD=2，AB=4，
∵AB是直徑，
∴AO=BO=

1

2

AB=2，
連接OD，則AO=OD=AD=2，
∴△AOD是等邊三角形，
連接BD，則BD⊥AC，
∵E是BC邊的中點，
∴DE=BE=

1

2

BC，
連接OE，則OE是線段BD的垂直平分線，
在Rt△AOD中，BD=

AB2+AD2

=

42-22

=2

3

，
∵∠A=∠A，∠ADB=∠ABC=90°，
∴△ABC∽△ADB，
∴

BC

BD

=

AB

AD

，
即

BC

2 3

=

4

2

，
解得BC=4

3

，
BE=

1

2

BC=2

3

，
∴S_{四邊形OBED}=2S_△OBE=2×

1

2

×2×2

3

=4

3

，
又∠BOD=180°-∠AOD=180°-60°=120°，
∴S_扇形BOD=

120°•π•22

360°

=

4

3

π，
∴陰影部分的面積=S_{四邊形OBED}-S_扇形BOD=4

3

-

4

3

π．
故答案為：4

3

-

4

3

π．

點評：本題主要考查了扇形的面積計算，一元二次方程的求解，切線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)方程的解判斷出△AOD是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．