【題目】如圖,拋物線軸交于兩點的左側),與軸交于點,點關于拋物線的對稱軸對稱.

(1)求拋物線的解析式及點的坐標;

(2)是拋物線上的一點,當的面積是8,求出點的坐標;

(3)過直線下方的拋物線上一點軸的平行線,與直線交于點,已知點的橫坐標是,試用含的式子表示的長及△ADM的面積,并求當的長最大時的值.

【答案】【解析】1y=x-12-4, D的坐標為(2-3);(2)P的坐標為(1,-4);(3)當,,當MN的長最大時S的值為.

【解析】

1)根據(jù)點C的坐標,利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出n值,進而可得出拋物線的解析式,由拋物線的解析式利用二次函數(shù)的性質可得出拋物線的對稱軸,結合點C的坐標可得出點D的坐標;
2)利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點AB的坐標及AB的長,設點P的坐標為(a,b),由三角形的面積公式結合ABP的面積是8,可求出b值,再利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點P的坐標;
3)根據(jù)點AD的坐標利用待定系數(shù)法可求出直線AD的解析式,由點M的橫坐標為m可得出點MN的坐標,進而可得出MN的長,結合S=SAMN+SDMN可用含m的式子表示ADM的面積S,再利用二次函數(shù)的性質即可解決最值問題.

解:(1)把C0,-3)代入y=x-12+n,得,-3=0-12+n

解得n=-4,∴拋物線的解析式為y=x-12-4,

∴拋物線的對稱軸為直線x=1∵點D與點C關于拋物線的對稱軸對稱,

∴點D的坐標為(2,-3).

2)當y=0時,(x-12-4=0,
解得:x1=-1,x2=3,
∴點A的坐標為(-10),點B的坐標為(30),AB=3--1=4
設點P的坐標為(a,b),
∵△ABP的面積是8,
AB|b|=8,即

×4|b|=8,
b=±4
b=4時,(a-12-4=4,解得:a1=1-2,a2=1+2,
∴點P的坐標為(1-24)或(1+2,4);
b=-4時,(a-12-4=-4,解得:a3=a4=1,
∴點P的坐標為(1,-4).
∴當ABP的面積是8,點P的坐標為(1-2,4)或(1+2,4)或(1,-4).


3)設直線AD的解析式為y=kx+ck≠0),
A-1,0),D2,-3)代入y=kx+c,得:

,
解得:,
∴直線AD的解析式為y=-x-1
∵點M的橫坐標是m-1m2),
∴點M的坐標為(m,(m-12-4),點N的坐標為(m,-m-1),
MN=-m-1-[m-12-4]=-m2+m+2-1m2),S=SAMN+SDMN=MNm+1+MN2-m=mn=-m2+m+3-1m2).
MN=-m2+m+2=-m-2+-10,
∴當m=時,MN取得最大值,最大值為,此時S的值為×=
∴當MN的長最大時S的值為

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