Question

19．如圖，已知拋物線y=ax²-3ax-4a（a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，∠ACB=90°，點(diǎn)D 的坐標(biāo)為（0，3）
（1）求A、B、C的坐標(biāo)及a的值；
（2）直線l經(jīng)過點(diǎn)D，與拋物線交于M、N，若MN²=DM•DN，求直線l的解析式；
（3）過點(diǎn)D 作直線DH⊥OD，P為直線DH上的一動點(diǎn)．是否存在點(diǎn)P，使sin∠OPB的值最大？若存在，求出此時sin∠OPB的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）令y=0，即可求出點(diǎn)A、B坐標(biāo)，再求出點(diǎn)C坐標(biāo)代入拋物線解析式即可求出a．
（2）如圖1，作ME⊥AB于點(diǎn)E，NF⊥AB于點(diǎn)F，則ME∥NF，設(shè)直線 l 的解析式為y=kx+3（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），列出方程組消去y，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系以及EF²=OE•OF，列出方程即可解決問題．
（3）法一：存在點(diǎn)P，使sin∠OPB的值最大，當(dāng)QP⊥DH時，QP最小，此時⊙Q與DH相切于點(diǎn)P（如圖3），求出OQ即可．
法二：存在點(diǎn)P，使sin∠OPB的值最大，如圖4，作OB的中垂線PG⊥OB，交DH于P，交OB于G，則△OPB的外接圓⊙Q切DH于P，此時∠OPB最大，求出OQ即可．

解答 解：（1）令y=0，得ax²-3ax-4a=0
∴x₁=-1，x₂=4
∴A（-1，0）、B（4，0）
∵OC⊥AB，AC⊥BC
∴OC²=OA•OB=4
∴OC=2
∴C（0，2），代入y=ax²-3ax-4a得a=-$\frac{1}{2}$．
（2）如圖1，作ME⊥AB于點(diǎn)E，NF⊥AB于點(diǎn)F，則ME∥NF，
∴$\frac{MN}{DM}$=$\frac{EF}{OE}$，$\frac{MN}{DM}$=$\frac{EF}{OF}$，
又MN²=DM•DN
∴EF²=OE•OF，設(shè)直線 l 的解析式為y=kx+3（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+3}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\end{array}\right.$消去y得x²-（3-2k）x+2=0，
∴x₁+x₂=3-2k，x₁x₂=2，
∵（x₁-x₂）²=x₁x₂，
∴（x₁+x₂）²=5x₁x₂，
∴（3-2k）²=10，
∴k=$\frac{3±\sqrt{10}}{2}$，
∴直線 l 的解析式為：y=$\frac{3+\sqrt{10}}{2}$x+3或y=$\frac{3-\sqrt{10}}{2}$x+3，
（3）法一：存在點(diǎn)P，使sin∠OPB的值最大，
如圖2，設(shè)∠POB的外接圓為⊙Q，QG是弦心距，則∠OQG=∠OPB，
在Rt△OQG中，OG為定值，
當(dāng)⊙Q的半徑最小時，∠BOG最大，
當(dāng)QP⊥DH時，QP最小，此時⊙Q與DH相切于點(diǎn)P（如圖3），
由OQ²=OG²+QG²，得OQ²=2²+（3-OQ）²，
解得OQ=$\frac{13}{6}$，
∴sin∠OPB=$\frac{2}{\frac{13}{6}}$，=$\frac{12}{13}$．
法二：存在點(diǎn)P，使sin∠OPB的值最大，
如圖4，作OB的中垂線PG⊥OB，交DH于P，交OB于G，則△OPB的外接圓⊙Q切DH于P，
設(shè)點(diǎn)P′是DH邊上不同于點(diǎn)P的另一點(diǎn)，BP′交⊙Q于K，連接P′B，
∵∠OPB=∠OKB，∠OKB＞∠OP'B，
∴∠OPB＞OP'B，即∠OPB最大；
在Rt△PBG中，PB=$\sqrt{P{G}^{2}+B{G}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
作OT⊥PB于點(diǎn)T，由S_△OPB=$\frac{1}{2}$OB•PG=$\frac{1}{2}$PB•OT，
得OT=$\frac{12\sqrt{13}}{13}$，
∴sin∠OPB=$\frac{\frac{12\sqrt{13}}{13}}{\sqrt{13}}$=$\frac{12}{13}$．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)綜合題、根與系數(shù)關(guān)系、勾股定理、平行線分線段成比例定理、圓、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造圓解決問題，屬于中考壓軸題．