Question

如圖1，已知△ABC，分別以AB、AC為邊作△ABD和△ACE，且AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE，連接DC與BE．
（1）求證：△DAC≌△BAE；
（2）F、H分別是BE與DC的中點(diǎn)；
①如圖2．當(dāng)∠DAB=∠CAE=90°時，求∠AFH的度數(shù)；
②請?zhí)骄慨?dāng)∠DAB等于多少度時，AF=FH？請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）求出∠DAC=∠BAE，然后利用“邊角邊”證明即可；
（2）①連接AH，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠AEB=∠ACD，全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE=CD，然后求出EF=CH，再利用“邊角邊”證明△ACH和△AEF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AF=AH，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠EAF=∠CAH，然后求出∠FAH=∠CAE，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等列式計算即可得解；
②判斷出△AFH是等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的三個角都是60°求解即可．

解答：（1）證明：∵∠DAB=∠CAE，
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，

AD=AB ∠DAC=∠BAE AC=AE

，
∴△DAC≌△BAE（SAS）；

（2）解：①如圖，連接AH，
∵△DAC≌△BAE，
∴∠AEB=∠ACD，BE=CD，
∵F、H分別是BE與DC的中點(diǎn)，
∴EF=

1

2

BE，CH=

1

2

CD，
∴EF=CH，
在△ACH和△AEF中，

AE=AC ∠AEB=∠ACD EF=CH

，
∴△ACH≌△AEF（SAS），
∴AF=AH，∠EAF=∠CAH，
∴∠FAH=∠CAE，
∵∠DAB=∠CAE=90°，
∴∠AFH=

1

2

（180°-90°）=45°；
②由①可知，AF=AH，∠FAH=∠CAE=∠DAB，
∵AF=FH，
∴AF=AH=FH，
∴△AFH是等邊三角形，
∴∠FAH=60°，
∴∠DAB=60°．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判斷方法并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．