【題目】如圖.在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AB=30cm,點(diǎn)P在AB上,AP=10cm,點(diǎn)E從點(diǎn)P出發(fā)沿線段PA以2cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)P出發(fā)沿線段PB以1cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原速度沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,以EF為邊作正方形EFGH,使它與△ABC在線段AB的同側(cè),設(shè)點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s)(0<t<20).
(1)當(dāng)點(diǎn)H落在AC邊上時(shí),求t的值;
(2)設(shè)正方形EFGH與△ABC重疊部分的面積為S.①試求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式;②以點(diǎn)C為圓心,t為半徑作⊙C,當(dāng)⊙C與GH所在的直線相切時(shí),求此時(shí)S的值.
【答案】(1)t=2s或10s;(2)①S=;②100cm2.
【解析】試題分析:(1)如圖1中,當(dāng)0<t≤5時(shí),由題意AE=EH=EF,即10﹣2t=3t,t=2;如圖2中,當(dāng)5<t<20時(shí),AE=HE,2t﹣10=10﹣(2t﹣10)+t,t=10;
(2)分四種切線討論a、如圖3中,當(dāng)0<t≤2時(shí),重疊部分是正方形EFGH,S=(3t)2=9t2.b、如圖4中,當(dāng)2<t≤5時(shí),重疊部分是五邊形EFGMN.c、如圖5中,當(dāng)5<t<10時(shí),重疊部分是五邊形EFGMN.d、如圖6中,當(dāng)10<t<20時(shí),重疊部分是正方形EFGH.分別計(jì)算即可;
②分兩種情形分別列出方程即可解決問(wèn)題.
試題解析:解:(1)如圖1中,當(dāng)0<t≤5時(shí),由題意得:AE=EH=EF,即10﹣2t=3t,t=2
如圖2中,當(dāng)5<t<20時(shí),AE=HE,2t﹣10=10﹣(2t﹣10)+t,t=10.
綜上所述:t=2s或10s時(shí),點(diǎn)H落在AC邊上.
(2)①如圖3中,當(dāng)0<t≤2時(shí),重疊部分是正方形EFGH,S=(3t)2=9t2
如圖4中,當(dāng)2<t≤5時(shí),重疊部分是五邊形EFGMN,S=(3t)2﹣(5t﹣10)2=﹣t2+50t﹣50.
如圖5中,當(dāng)5<t<10時(shí),重疊部分是五邊形EFGMN,S=(20﹣t)2﹣(30﹣3t)2=﹣t2+50t﹣50.
如圖6中,當(dāng)10<t<20時(shí),重疊部分是正方形EFGH,S=(20﹣t)2=t2﹣40t+400.
綜上所述:S=.
②如圖7中,當(dāng)0<t≤5時(shí),t+3t=15,解得:t=,此時(shí)S=100cm2,當(dāng)5<t<20時(shí),t+20﹣t=15,解得:t=10,此時(shí)S=100.
綜上所述:當(dāng)⊙C與GH所在的直線相切時(shí),求此時(shí)S的值為100cm2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,∠BCD=∠D=90°,E是邊AB的中點(diǎn).已知AD=1,AB=2.
(1)設(shè)BC=x,CD=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域;
(2)當(dāng)∠B=70°時(shí),求∠AEC的度數(shù);
(3)當(dāng)△ACE為直角三角形時(shí),求邊BC的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】新房裝修后,某居民購(gòu)買家用品的清單如下表,因污水導(dǎo)致部分信息無(wú)法識(shí)別,根據(jù)下表解決問(wèn)題:
家居用品名稱 | 單價(jià)(元) | 數(shù)量(個(gè)) | 金額(元) |
垃圾桶 | 15 | ||
鞋架 | 40 | ||
字畫 | a | 2 | 90 |
合計(jì) | 5 | 185 |
(1)居民購(gòu)買垃圾桶,鞋架各幾個(gè)?
(2)若居民再次購(gòu)買字畫和垃圾桶兩種家居用品共花費(fèi)150元,則有哪幾種不同的購(gòu)買方案?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校開(kāi)展“陽(yáng)光體育”活動(dòng),決定開(kāi)設(shè)乒乓球、籃球、跑步、跳繩這四種運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目,學(xué)生只能選擇其中一種,為了解學(xué)生喜歡哪一種項(xiàng)目,隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪制成兩張不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你結(jié)合圖中的信息解答下列問(wèn)題:
(1)樣本中喜歡籃球項(xiàng)目的人數(shù)百分比是 ;其所在扇形統(tǒng)計(jì)圖中的圓心角的度數(shù)是 ;
(2)把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)畫完整并注明人數(shù);
(3)已知該校有1000名學(xué)生,根據(jù)樣本估計(jì)全校喜歡乒乓球的人數(shù)是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖:圖形都是由面積為1的正方形按一定的規(guī)律組成,其中第(1)個(gè)圖形中面積為1的正方形有9個(gè),第(2)個(gè)圖形中面積為1的正方形有14個(gè),…,按此規(guī)律.則第(9)個(gè)圖形中面積為1的正方形的個(gè)數(shù)為( )
A.49B.45C.54D.50
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上,且AE=AB=2,將矩形沿直線EF折疊,點(diǎn)B恰好落在AD邊上的點(diǎn)P處,連接BP交EF于點(diǎn)Q,下列結(jié)論:①EF=2BE;②△APE≌△QEB;③FQ=3EQ;④SBFPE=8,其中正確的結(jié)論是______(只填序號(hào)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的方程x2﹣(2k+3)x+k2+2k=0,有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2.
(1)求k的取值范圍;
(2)若方程的兩實(shí)數(shù)根x1,x2滿足x1x2﹣x12﹣x22=﹣16,求實(shí)數(shù)k的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若關(guān)于x的三個(gè)方程x2+4mx+4m2+2m+3=0,x2+(2m+1)x+m2=0,(m﹣1)x2+2mx+m﹣1=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根,則m的取值范圍是_____.
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