Question

如圖，已知O是線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，以OB為半徑的⊙O交線(xiàn)段AB于點(diǎn)C，以線(xiàn)段OA為直徑的半圓交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作AB垂線(xiàn)與AD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E，連結(jié)CD．若AC＝2，且AC、AD的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x²－kx＋4＝0的兩個(gè)根．

（1）證明AE切⊙O于點(diǎn)D；

（2）求線(xiàn)段EB的長(zhǎng)；

（3）求tan ∠ADC的值．

Answer 1

（1）【略證】連結(jié)OD．

∵  OA是半圓的直徑，∴  ∠ADO＝90°．∴  AE切⊙O于點(diǎn)D．

（2）【略解】∵  AC、AD的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x²－kx＋4＝0的兩個(gè)根，且AC＝2，AC·AD＝2，

∴  AD＝4．∵  AD是⊙O的切線(xiàn)，ACB為割線(xiàn)，

∴  AD²＝AC·AB．又  AD＝2，AC＝2，∴  AB＝10．

則　BC＝8，OB＝4．∵  BE⊥AB，

∴  BE切⊙O于B．

又  AE切⊙O于點(diǎn)D，∴  ED＝EB．

在Rt△ABE中，設(shè)BE＝x，由勾股定理，得

（x＋2）²＝x²＋10²．

解此方程，得  x＝4．

即BE的長(zhǎng)為4．

（3）連結(jié)BD，有∠CDB＝90°．

∵  AD切⊙O于D，

∴  ∠ADC＝∠ABD，且tan ∠ADC＝tan ∠ABD＝．

在△ADC和△ABD中，∠A＝∠A，∠ADC＝∠ABD，

∴  △ADC∽△ABD．

∴  ＝＝＝．

∴  tan ∠ADC＝．