Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x²-2x+3交y軸于點(diǎn)A．P為拋物線上一點(diǎn)，且與點(diǎn)A不重合．連接AP，以AO、AP為鄰邊作平行四邊形OAPQ，PQ所在直線與x軸交于點(diǎn)B．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
（1）點(diǎn)Q落在x軸上時(shí)m的值．
（2）若點(diǎn)Q在x軸下方，則m為何值時(shí)，線段BQ的長(zhǎng)取最大值，并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用點(diǎn)Q落在x軸上時(shí)，PQ=3，得出m²-2m+3=3，求出m的值即可；
（2）利用QB=QP-BP=3-（m²-2m+3），利用m的取值范圍，得出m的最值即可．
解答：解：（1）拋物線y=x²-2x+3與y軸交于點(diǎn)A，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3）．
∴OA=3．
∵四邊形OAPQ為平行四邊形，
∴QP=OA=3．
∴當(dāng)點(diǎn)Q落在x軸上時(shí)，m²-2m+3=3，
解得：m₁=0，m₂=4．
當(dāng)m=0，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，不符合題意，舍去．
∴m=4．

（2）解法一：∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，
∴BP=m²-2m+3．
∴QB=QP-BP=3-（m²-2m+3），
=-m²+2m，
=-（m-2）²+2，
∵點(diǎn)Q在x軸下方，
∴0＜m＜4．
∴m=2時(shí)，線段QB的長(zhǎng)取最大值，最大值為2．

解法二：∵QP=3，QB=3-BP，
∴線段BP的長(zhǎng)取最小值時(shí)，線段QB的長(zhǎng)取最大值．
當(dāng)點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，線段BP的長(zhǎng)取最小值．
當(dāng)x=-=2時(shí)，．
∴線段BP的長(zhǎng)最小值為1．
∴m=2時(shí)，線段QB的長(zhǎng)取最大值，最大值為3-1=2．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及平行四邊形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知得出關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．