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【題目】在平面直角坐標系中,點O為坐標原點,拋物線y=ax2+bx+cx軸交于點A-1,0),B3,0),與y軸交于點C03),頂點為G

1)求拋物線和直線AC的解析式;

2)如圖1,設Em,0)為x正半軸上的一個動點,若CGECGO的面積滿足SCGE=SCGO,求點E的坐標;

3)如圖2,設點P從點A出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿x軸向右運動,運動時間為ts,點M為射線AC上一動點,過點MMNx軸交拋物線對稱軸右側部分于點N.試探究點P在運動過程中,是否存在以P,M,N為頂點的三角形為等腰直角三角形,若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.

【答案】1;y=3x+3;(2)點E的坐標為:(1,0)或(-7,0);(3)存在,t的值為

【解析】

1)用待定系數法即能求出拋物線和直線AC解析式.
2)△CGE與△CGO雖然有公共底邊CG,但高不好求,故把△CGE構造在比較好求的三角形內計算.延長GCx軸于點F,則△FGE與△FCE的差即為△CGE
3)設M的坐標(e3e3),分別以M、N、P為直角頂點作分類討論,利用等腰直角三角形的特殊線段長度關系,用e表示相關線段并列方程求解,再根據eAP的關系求t的值.

解:(1)將點A-1,0),B3,0),點C0,3)代入拋物線y=ax2+bx+c得,

,解得,

,

設直線AC的解析式為y=kx+n

將點A-1,0),點C0,3)代入得:,解得:k=3,n=3

∴直線AC的解析式為:y=3x+3

2)延長GCx軸于點F,過點GGH⊥x軸于點H

G1,4),GH=4,

SCGE=SCGO,

SCGE=SCGO=,

①若點Ex軸的正半軸,

設直線CG,將G1,4)代入得

,

∴直線CG的解析式為y=x+3,

∴當y=0時,x=-3,即F(-3,0)

Em,0

EF=m-(-3)=m+3

=

=

=

=

,解得:m=1

E的坐標為(1,0

②若點Ex軸的負半軸上,則點E到直線CG的距離與點(1,0)到直線CG的距離相等,

即點E到點F的距離等于點(1,0)到點F的距離,

EF=-3-m=1-(-3)=4

m=-7,即E-7,0

綜上所述,點E的坐標為:(1,0)或(-7,0

3)存在以P,M,N為頂點的三角形為等腰直角三角形,

Me,3e+3),e-1,則,

①如圖2,若∠MPN=90°PM=PN,

過點MMQ⊥x軸于點Q,過NNR⊥x軸于點R,

MNx
MQNR3e3
RtMQPRtNRPHL
PQPR,∠MPQ=∠NPR45°
MQPQPRNR3e3
xNxM3e33e37e6,即N7e6,3e3
N在拋物線上
7e6227e6)+33e3

解得:(舍去),

APt,OPt1,OPOQPQ
t1e3e3
t4e4,

②如圖3,若∠PMN90°PMMN,

MNPM3e3
xNxM3e34e3,即N4e3,3e3
4e3224e3)+33e3
解得:e11(舍去),e2,
tAPe1)=,


③如圖4,若∠PNM90°,PNMN,
MNPN3e3,N4e3,3e3
解得:e
tAPOAOP14e3

綜上所述,存在以P,M,N為頂點的三角形為等腰直角三角形,t的值為

練習冊系列答案
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進價(元/雙)

m

m20

售價(元/雙)

240

160

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1)求m的值;

2)要使購進的甲、乙兩種運動鞋共200雙的總利潤(利潤=售價﹣進價)不少于21700元,且甲種運動鞋的數量不超過100雙,問該專賣店共有幾種進貨方案?

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