Question

【題目】問題探究：
（1）已知：如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、H分別在BC、AB上，若AE⊥DH于點(diǎn)O，求證AE=DH；

類比探究：
（2）如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)H，E，G，F(xiàn)分別在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于點(diǎn)O，探究線段EF與HG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
拓展應(yīng)用：
（3）已知，如圖3，在（2）問條件下，若BC=4，E為BC的中點(diǎn)，AF= AD，求HG的長

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．

∴∠HAO+∠OAD=90°．

∵AE⊥DH，

∴∠ADO+∠OAD=90°．

∴∠HAO=∠ADO，

在△ABE和△DAH中

，

∴△ABE≌△DAH（ASA），

∴AE=DH．

（2）

解：EF=GH．

理由：如圖2，將FE平移到AM處，則AM∥EF，AM=EF．

將GH平移到DN處，則DN∥GH，DN=GH．

∵EF⊥GH，

∴AM⊥DN，

根據(jù)（1）的結(jié)論得AM=DN，

所以EF=GH；

（3）

解：如圖3，

過點(diǎn)F作FP⊥BC于點(diǎn)P，

∵四邊形ABCD是正方形，BC=4，

∴AD=BC=AB=FP=4，

∵E為BC的中點(diǎn)，AF= AD，

∴BE=2，AF=1，

∴PE=2﹣1=1，

在Rt△FPE中，EF= = ，

由（2）得：HG=EF，

∴HG= ．

【解析】（1）由正方形的性質(zhì)得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．所以∠HAO+∠OAD=90°，又知∠ADO+∠OAD=90°，所以∠HAO=∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE=DH；（2）將FE平移到AM處，則AM∥EF，AM=EF，將GH平移到DN處，則DN∥GH，DN=GH．根據(jù)（1）的結(jié)論得AM=DN，所以EF=GH；（3）過點(diǎn)F作FP⊥BC于點(diǎn)P，利用勾股定理得出EF的長，進(jìn)而得出HG的長．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的正方形的性質(zhì)，需要了解正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能得出正確答案．