Question

【題目】在中，，分別以，為邊向外作正方形和正方形．

（1）當(dāng)時(shí)，正方形的周長(zhǎng)=_______（用含的代數(shù)式表示）；

（2）連接．試說明：三角形的面積等于正方形面積的一半．

（3）已知，且點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)在移動(dòng)過程中，的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）4m；（2）證明見解析；（3）△APQ的周長(zhǎng)的最小值為4．

【解析】

（1）直接由正方形的性質(zhì)得出答案即可；

（2）連接AH，證明△BHA≌△BCE，利用△BHA的面積=△BCE的面積得出結(jié)論；

（3）作點(diǎn)A關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)A′，點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)F，利用對(duì)稱的性質(zhì)得出△APQ的周長(zhǎng)的最小值為A′F，進(jìn)一步求得問題即可．

（1）∵四邊形BCFH是正方形，

∴BC=BH=FH=CF，

∴當(dāng)BC=m時(shí)，正方形BCFH的周長(zhǎng)為4m，

故答案為：4m；

（2）如圖1，連接AH，

在△BHA和△BCE中，

∴△BHA≌△BCE（SAS），

∵AF∥BH，

∴BH邊上的高=正方形BCFH的邊

∴△BHA的面積等于正方形BCFH的面積．

∴△AEC的面積等于正方形BCFH的面積；

（3）△APQ的周長(zhǎng)存在最小值．

如圖2，作點(diǎn)A關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)A

∴AP=A′P

∵點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)F，

∴AQ=QF，

∴△APQ的周長(zhǎng)的最小值為A′F，

過A′作A′M⊥FA交FA的延長(zhǎng)線于M，

∵，

∴∠BAC=45°，AB=2

∴∠A′AM=45°, AA′=4，

∴△AA′M為等腰直角三角形，，

∴MA=MA′=4，

∴MF=8，

∴A′F==4，

∴△APQ的周長(zhǎng)的最小值為4．