Question

9．如圖1，直角三角形AOB中，∠AOB=90°，AB∥x軸，OA=2OB，AB=5，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過點A．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）如圖2，P（x，y）在（1）中的反比例函數(shù)圖象上，其中1＜x＜8，連接OP，過點O作OQ⊥OP，且OP=2OQ，連接PQ，設(shè)點Q坐標(biāo)為（m，n），其中m＜0，n＞0，求n與m的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AB與y軸的交點為點D，由AB∥x軸可得出∠ADO=∠ODB=90°，根據(jù)∠AOB=90°，可得出∠B+∠A=90°，通過角的計算即可得出∠BOD=∠A，從而得出△ADO∽△ODB，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出$\frac{BD}{OD}=\frac{OD}{AD}$=$\frac{OB}{OA}$，結(jié)合OA=2OB，AB=5，AB=AD+BD即可求出OD、AD的長度，從而得出點A的坐標(biāo)，根據(jù)點A的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可求出反比例函數(shù)解析式；
（2）過點P作PM⊥x軸于點M，過點Q作QN⊥x軸于點N，通過角的計算找出∠POM=∠OQN，結(jié)合∠ONQ=∠PMO=90°即可證出△POM∽△OQN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出$\frac{PM}{ON}=\frac{OM}{QN}=\frac{OP}{QO}$，再結(jié)合點P、Q的坐標(biāo)特征即可得出m、n之間的關(guān)系式，結(jié)合1＜x＜8即可找出m的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)AB與y軸的交點為點D，如圖3所示．
∵AB∥x軸，
∴OD⊥AB，
∴∠ADO=∠ODB=90°．
∵∠AOB=90°，
∴∠B+∠A=90°，
∵∠B+∠BOD=90°，
∴∠BOD=∠A，
∴△ADO∽△ODB，
∴$\frac{BD}{OD}=\frac{OD}{AD}$=$\frac{OB}{OA}$．
∵OA=2OB，AB=5，AB=AD+BD，
∴OD=2，AD=4，
∴點A的坐標(biāo)為（4，2），
∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過點A，
∴2=$\frac{k}{4}$，解得：k=8，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{8}{x}$．
（2）過點P作PM⊥x軸于點M，過點Q作QN⊥x軸于點N，如圖4所示．
∵QN⊥x軸，PM⊥x軸，
∴∠ONQ=∠PMO=90°，
∵∠POQ=90°，
∴∠QON+∠POM=90°，∠QON+∠OQN=90°，
∴∠POM=∠OQN，
∴△POM∽△OQN，
∴$\frac{PM}{ON}=\frac{OM}{QN}=\frac{OP}{QO}$．
∵OP=2OQ，P（x，y），Q（m，n），且1＜x＜8，m＜0，n＞0，
∴ON=-m=$\frac{1}{2}$PM=$\frac{1}{2}$y，QN=n=$\frac{1}{2}$OM=$\frac{1}{2}$x，
∵1＜x＜8，
∴1＜y＜8，
∵m=-$\frac{1}{2}$y，
∴-4＜m＜-$\frac{1}{2}$．
∵P（x，y）在（1）中的反比例函數(shù)圖象上，
∴x•y=8（1＜x＜8），
∴-4mn=8，
∴n=-$\frac{2}{m}$（-4＜m＜-$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、相似三角形的判定與性質(zhì)以及角的計算，解題的關(guān)鍵是：（1）求出點A的坐標(biāo)；（2）利用x、y表示出m、n．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)找出邊與邊之間的關(guān)系是關(guān)鍵．