【題目】已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足為點(diǎn)D,AN是△ABC外角∠CAM的平分線,CE⊥AN,垂足為點(diǎn)E,連接DE交AC于點(diǎn)F.
(1)求證:四邊形ADCE為矩形;
(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí),四邊形ADCE是一個(gè)正方形?并給出證明.
(3)在(2)的條件下,若AB=AC=2,求正方形ADCE周長(zhǎng).
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)∠BAC=90°且AB=AC時(shí),四邊形ADCE是一個(gè)正方形,(3)8.
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),可得∠CAD=∠BAC,根據(jù)等式的性質(zhì),可得∠CAD+∠CAE=(∠BAC+∠CAM)=90°,根據(jù)垂線的定義,可得∠ADC=∠CEA,根據(jù)矩形的判定,可得答案;
(2)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),可得AD與CD的關(guān)系,根據(jù)正方形的判定,可得答案;
(3)根據(jù)勾股定理,可得AD的長(zhǎng),根據(jù)正方形周長(zhǎng)公式,可得答案.
(1)證明:∵AB=AC,AD⊥BC,垂足為點(diǎn)D,
∴∠CAD=∠BAC.
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線,
∴∠CAE=∠CAM.
∵∠BAC與∠CAM是鄰補(bǔ)角,
∴∠BAC+∠CAM=180°,
∴∠CAD+∠CAE=(∠BAC+∠CAM)=90°.
∵AD⊥BC,CE⊥AN,
∴∠ADC=∠CEA=90°,
∴四邊形ADCE為矩形;
(2)∠BAC=90°且AB=AC時(shí),四邊形ADCE是一個(gè)正方形,
證明:∵∠BAC=90°且AB=AC,AD⊥BC,
∴∠CAD=∠BAC=45,∠ADC=90°,
∴∠ACD=∠CAD=45°,
∴AD=CD.
∵四邊形ADCE為矩形,
∴四邊形ADCE為正方形;
(3)解:由勾股定理,得
=AB,AD=CD,
即AD=2,
AD=2,
正方形ADCE周長(zhǎng)4AD=4×2=8.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線l與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn),∠BAO=45°,點(diǎn)A坐標(biāo)為(8,0).動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),沿折線段OBA運(yùn)動(dòng),到點(diǎn)A停止;同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q也從點(diǎn)O出發(fā),沿線段OA運(yùn)動(dòng),到點(diǎn)A停止;它們的運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度.
(1)求直線AB的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若點(diǎn)A、B、O與平面內(nèi)點(diǎn)E組成的圖形是平行四邊形,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)P、Q的距離為2時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在歌唱比賽中,一位歌手分別轉(zhuǎn)動(dòng)如下的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)(每個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)都被分成3等份)一次,根據(jù)指針指向的歌曲名演唱兩首曲目.
(1)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)①時(shí),該轉(zhuǎn)盤(pán)指針指向歌曲“3”的概率是 ;
(2)若允許該歌手替換他最不擅長(zhǎng)的歌曲“3”,即指針指向歌曲“3”時(shí),該歌手就選擇自己最擅長(zhǎng)的歌曲“1”, 請(qǐng)用樹(shù)形圖或列表法中的一種,求他演唱歌曲“1”和“4”的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列運(yùn)算中,正確的是( 。
A. 3a+2b=5ab B. 2a3+3a2=5a5 C. 5a2﹣4a2=1 D. 3a2b﹣3ba2=0
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知地球上海洋面積約為361 000 000km2,361 000 000用科學(xué)記數(shù)法可表示為( )
A.3.61×106 B.3.61×107 C.3.61×108 D.3.61×109
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知反比例函數(shù)y=的圖象過(guò)點(diǎn)A(3,4),求反比例函數(shù)的解析式,并判斷點(diǎn)B(6,2)是否在該反比例函數(shù)的圖象上.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè), ,……, ,(n為正整數(shù))
(1)試說(shuō)明是8的倍數(shù);
(2)若△ABC的三條邊長(zhǎng)分別為、、(為正整數(shù))
①求的取值范圍.
②是否存在這樣的,使得△ABC的周長(zhǎng)為一個(gè)完全平方數(shù),若存在,試舉出一例,若不存在,說(shuō)明理由.
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