Question

【題目】問題背景：

如圖①，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°.E、F分別是BC、CD上的點.且∠EAF＝60°.探究圖中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系.

解法探究：小明同學(xué)通過思考，得到了如下的解決方法.

延長FD到點G，使DG＝BE，連結(jié)AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，從而可得結(jié)論.

（1）請先寫出小明得出的結(jié)論，并在小明的解決方法的提示下，寫出所得結(jié)論的理由.

解：線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系是： .

理由：延長FD到點G，使DG＝BE，連結(jié)AG.（以下過程請同學(xué)們完整解答）

（2）拓展延伸：

如圖②，在四邊形ABCD中，AB＝AD，若∠B+∠D＝180°，E、F分別是BC、CD上的點.且∠EAF＝∠BAD，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請再把結(jié)論寫一寫；若不成立，請直接寫出你認(rèn)為成立的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）EF＝BE＋FD，理由見解析；（2）結(jié)論EF＝BE＋FD仍然成立，理由見解析.

【解析】

（1）延長FD到點G．使DG＝BE．連結(jié)AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解題；

（2）延長FD到點G．使DG＝BE．連結(jié)AG，求出∠B＝∠ADG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解題．

證明：（1）EF＝BE＋FD；

理由：延長FD到點G，使DG＝BE，連結(jié)AG.

在△ABE和△ADG中，，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG，

∵∠EAF＝∠BAD，

∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD∠EAF＝∠EAF，

即∠EAF＝∠GAF，

在△AEF和△AGF中，，

∴△AEF≌△AGF（SAS），

∴EF＝FG，

∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF，

∴EF＝BE＋FD；

（2）結(jié)論EF＝BE＋FD仍然成立；

理由：如圖②，延長FD到點G．使DG＝BE．連結(jié)AG，

∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，

∴∠B＝∠ADG，

在△ABE和△ADG中，，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG，

∵∠EAF＝∠BAD，

∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD∠EAF＝∠EAF，

即∠EAF＝∠GAF，

在△AEF和△AGF中，，

∴△AEF≌△AGF（SAS），

∴EF＝FG，

∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF，

∴EF＝BE＋FD.