Question

【題目】已知一個正比例函數與一個一次函數的圖象交于點A（3，4），且OA=OB．

（1）求兩個函數的解析式；

（2）求△AOB的面積；

（3）在x軸上存在一點p，使△AOP是等腰三角形，直接寫出所有符合要求的點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1），y=3x-5；（2）7.5；（3）（5，0）或（-5，0）或（6，0）或（，0）．

【解析】試題分析: （1）利用待定系數法，將A，B兩點分別代入求出即可；

（2）△AOB的高是點A的橫坐標3，底邊是線段OB的長，所以利用函數解析式求出與y軸交點坐標，從而求出面積，

（3）已知等腰三角形POA中的一邊OA，分(1) OA是底邊；(2)OA是腰，且A是頂角的頂點；(3)OA是腰，且O是頂角的頂點．三種情況進行討論．

試題解析:

(1)設直線OA為y=kx.

∵y=kx經過點(3,4)，

∴3k=4,k=，

∴y=x.

設直線AB為y=ax+b，

∵y=ax+b經過(3,4),(0,5)，

∴，

解得： ，

∴y=3x5.

(2) =|OB|×3=×5×3=7.5，

(3)把(3,4)代入y=kx得到：3k=4，

解得：k=，

當OA是底邊時,OA的中點是(,2),設過OA的中點且與OA垂直的直線的解析式是：y=x+b，

根據題意得：b=，

直線的解析式是：y=x+，

當y=0時,x=，

則P的坐標是(,0)；

當OA是腰,O是頂角的頂點時,OP=OA=5,則P的坐標是(5,0)或(5,0)；

當OA是腰,A是頂角的頂點時,AP=AO,則P與O關于x=3對稱,span>則P的坐標是(6,0).

則P的坐標是：(,0)或(5,0)或(5,0)或(6,0).

點睛: 此題主要考查了用待定系數法解函數解析式和一次函數圖象的性質以及等腰三角形的性質，根據等腰三角形的性質分類討論得出是解題關鍵．