Question

已知AD、BE、CF為△ABC的三條高（D、E、F為垂足），∠ABC=45°，∠C=60°，則

DE

DF

的值是 （　　）

• A、

  2

  3

• B、

  3

  2

• C、

  1

  2

• D、

  1

  2

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：探究型

分析：判斷出△ABD與△BCF均是等腰直角三角形，據(jù)此得到

BF

BC

=

BD

AB

=

2

2

，∠ABC=∠ABC，從而知道△BFD∽△BCA，據(jù)此推出

DF

AC

=

2

2

，然后根據(jù)△CDE∽△CBA，求出

DE

AB

=

CD

AC

=

1

2

，將

DE

DF

轉(zhuǎn)化為

2 AB

2AC

，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，得出AD=a，則AB=

2

a，AC=

2a

3

，代入

2 AB

2AC

即可求解．

解答：解：∵∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°，∠BCF=45°，
∴△ABD與△BCF均是等腰直角三角形，
∵

BF

BC

=

BD

AB

=

2

2

，∠ABC=∠ABC，
∴△BFD∽△BCA，
∴

DF

AC

=

2

2

，
同理可得，△CDE∽△CBA，
∴

DE

AB

=

CD

AC

=

1

2

，
故DF=

2

2

AC，DE=

1

2

AB，
∴

DE

DF

=

1 2 AB

2 2 AC

=

2 AB

2AC

，
設(shè)AD=a，則AB=

2

a，AC=

2a

3

，

DE

DF

=

2 AB

2AC

=

2 × 2 a

2× 2a 3

=

3

2

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，利用圖中的等腰直角三角形找到相關(guān)相似三角形是解答的關(guān)鍵．