Question

12．如圖（1），點(diǎn)M、N分別是正方形ABCD的邊AB、AD的中點(diǎn)，連接CN、DM．
（1）證明：①CN=DM；②CN⊥DM；
（2）設(shè)CN、DM的交點(diǎn)為H，連接BH，如圖（2），求證：△BCH是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）利用正方形的性質(zhì)可求證△ADM≌△DCN，所以CN=DM，∠ADM=∠DCN，∠ADM+∠CDM=∠DCN+∠CDM=90°，即可求證∠CHD=90°；
（2）連接CM，易證M、B、C、H四點(diǎn)共圓，所以∠BMC=∠BHC，證明△AMD≌△BCM，即可求證∠BHC=∠BCH

解答 解：（1）由題意知：AD=CD，
∵M(jìn)、N分別是AB和AD的中點(diǎn)，
∴AM=DN，
在△ADM與△DCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠MAD=∠NDC}\\{AM=DN}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△DCN（SAS），
∴DM=CN，∠ADM=∠DCN，
∴∠DCN+∠CDM=∠ADM+∠CDM=90°，
∴∠CHD=90°，
∴CN⊥DM；

（2）連接CM，
由（1）可知：∠AMD=90°-∠ADM，
∠BCH=90°-∠DCN，
∴∠AMD=∠BCH，
∴M、B、C、H四點(diǎn)共圓，
∴∠BMC=∠BHC，
在△BCM與△ADM中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=AM}\\{∠MBC=∠MAD}\\{BC=AD}\end{array}\right.$，
∴△BCM≌△ADM（SAS），
∴∠BMC=∠AMD，
∴∠BHC=∠AMD=∠BCH，
∴△BCH是等腰三角形

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)，涉及四點(diǎn)共圓，全等三角形的性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí)，綜合程度高，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力．