Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，2為半徑畫⊙O，P是⊙O上一動點(diǎn)，且P在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)P作⊙O的切線與軸相交于點(diǎn)A，與軸相交于點(diǎn)B。
（1）點(diǎn)P在運(yùn)動時(shí)，線段AB的長度頁在發(fā)生變化，請寫出線段AB長度的最小值，并說明理由；
（2）在⊙O上是否存在一點(diǎn)Q，使得以Q、O、A、P為頂點(diǎn)的四邊形時(shí)平行四邊形？若存在，請求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）線段AB長度的最小值為4
理由如下：
連接OP因?yàn)锳B切⊙O于P，所以O(shè)P⊥AB
取AB的中點(diǎn)C，則              …………3分
當(dāng)時(shí)，OC最短，
即AB最短，此時(shí)                    …………4分
（2）設(shè)存在符合條件的點(diǎn)Q，
如圖①，

設(shè)四邊形APOQ為平行四邊形，
因?yàn)樗倪呅蜛POQ為矩形
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823021016495491.png" style="vertical-align:middle;" />
所以四邊形APOQ為正方形
所以，
在Rt△OQA中，根據(jù)，
得Q點(diǎn)坐標(biāo)為（）。         …………7分
如圖②，設(shè)四邊形APQO為平行四邊形

因?yàn)镺Q∥PA，，
所以，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823021016495491.png" style="vertical-align:middle;" />
所以，
因?yàn)?PQ∥OA，
所以 軸。
設(shè)軸于點(diǎn)H，
在Rt△OHQ中，根據(jù)，
得Q點(diǎn)坐標(biāo)為（）
所以符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（）或（）。

（1）如圖，設(shè)AB的中點(diǎn)為C，連接OP，由于AB是圓的切線，故△OPC是直角三角形，有OP＜OC，所以當(dāng)OC與OP重合時(shí)，OC最短；
（2）分兩種情況：如圖（1），當(dāng)四邊形APOQ是正方形時(shí)，△OPA，△OAQ都是等腰直角三角形，可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，﹣），如圖（2），可求得∠QOP=∠OPA=90°，由于OP=OQ，故△OPQ是等腰直角三角形，可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣，）．