Question

5．已知拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經(jīng)過A（3，0）、B（4，1）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，設(shè)拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為D，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PAB的面積是△BDA面積的2倍？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（3，0）、B（4，1）兩點(diǎn)代入拋物線解析式，列出方程組，解方程組即可解決問題．
（2）取點(diǎn)E（1，0），作EP∥AB交拋物線于點(diǎn)P．此時△PAB的面積是△DAB的面積的兩倍，求出直線EP的解析式，列方程組即可求出交點(diǎn)P坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經(jīng)過A（3，0）、B（4，1）兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+3=0}\\{16a+4b+3=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+3；

（2）∵拋物線與x軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，
∴$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+3=0，
解得：x₁=3，x₂=2，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（2，0），
取點(diǎn)E（1，0），作EP∥AB交拋物線于點(diǎn)P，
∵ED=AD=1，∴此時△PAB的面積是△DAB的面積的兩倍，
∵直線AB解析式為y=x-3，
∴直線EP為y=x-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{5}{2}x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7-\sqrt{17}}{2}}\\{y=\frac{5-\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7+\sqrt{17}}{2}}\\{y=\frac{5+\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)（$\frac{7-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{7+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)問題、解題的關(guān)鍵是取點(diǎn)E（1，0）這個特殊點(diǎn)，學(xué)會添加輔助線的方法，本題體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，把求點(diǎn)P坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為求方程組的解，屬于中考�？碱}型．