Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于N，交AC于M．

（1）若∠B=70°，則∠NMA的度數(shù)是 ．
（2）連接MB，若AB=8cm，△MBC的周長是14cm．
①求BC的長；
②在直線MN上是否存在點(diǎn)P，使由P，B，C構(gòu)成的△PBC的周長值最��？若存在，標(biāo)出點(diǎn)P的位置并求△PBC的周長最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）50°
（2）解：猜想的結(jié)論為：∠NMA=2∠B﹣90°．

理由：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠A=180°﹣2∠B，

又∵M(jìn)N垂直平分AB，

∴∠NMA=90°﹣∠A=90°﹣（180°﹣2∠B）=2∠B﹣90°．

如圖：

①∵M(jìn)N垂直平分AB．

∴MB=MA，

又∵△MBC的周長是14cm，

∴AC+BC=14cm，

∴BC=6cm．

②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時，PB+CP的值最小，最小值是8cm．

【解析】解：（1）若∠B=70°，則∠NMA的度數(shù)是 50°，
所以答案是：50°；
【考點(diǎn)精析】掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等；等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．