Question

【題目】如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”.

如：，，，因此，，這三個(gè)數(shù)都是神秘?cái)?shù).

(1)是神秘?cái)?shù)嗎？為什么？

(2)設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為和(其中取非負(fù)整數(shù))，由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘?cái)?shù)是的倍數(shù)嗎？為什么？

(3)①若長(zhǎng)方形相鄰兩邊長(zhǎng)為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)，試說(shuō)明其周長(zhǎng)一定為神秘?cái)?shù).

②在①的條件下，面積是否為神秘?cái)?shù)？為什么？

Answer 1

【答案】（1）是，見(jiàn)詳解；（2）是，見(jiàn)詳解；（3）①見(jiàn)詳解，②是，見(jiàn)詳解

【解析】

（1）根據(jù)“神秘?cái)?shù)”的定義，只需看能否把28這個(gè)數(shù)寫成兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差即可判斷；
（2）運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)而判斷即可；
（3）①運(yùn)用周長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)而判斷即可，②運(yùn)用面積公式進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)而判斷即可．

解：（1）28是“神秘?cái)?shù)”，理由如下：
∵28=82-62，能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，
∴28是“神秘?cái)?shù)”；
（2）“神秘?cái)?shù)”是4的倍數(shù)．理由如下：
∵（2k+2）2-（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2-2k）=2（4k+2）=4（2k+1），
∴“神秘?cái)?shù)”是4的倍數(shù)；

（3）①設(shè)兩個(gè)連續(xù)的偶數(shù)為：2k，2k+2(其中取非負(fù)整數(shù))，

則周長(zhǎng)=，
而由（2）知“神秘?cái)?shù)”可表示為4（2k+1），
∴長(zhǎng)方形相鄰兩邊長(zhǎng)為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)，則其周長(zhǎng)一定為神秘?cái)?shù)．

②長(zhǎng)方形的面積=，

∵取非負(fù)整數(shù)，

∴在①的條件下，面積是神秘?cái)?shù).