Question

6．如圖，已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，直線CD是⊙O的切線，AC平分∠BAD．
（1）求證：AD⊥DC；
（2）若⊙O的半徑為5，AC=4$\sqrt{5}$，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，根據(jù)切線性質(zhì)得到OC∥AD，推出∠DAC=∠OCA=∠CAO，推出OC∥AD，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可證得結(jié)論；
（2）連接BC，證△DAC∽△CAB，得出比例式，代入求出即可．

解答 解：（1）連接OC，
∵直線CD是⊙O的切線，
∴OC⊥CD，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAB，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
∴AD⊥DC；
（2）∵OC⊥CD，AD⊥DC，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
又∵∠DAC=∠CAB，
∴△ADC∽△ACB，
∴$\frac{DA}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，即$\frac{DA}{4\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{10}$，
∴DA=8．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，平行線性質(zhì)和判定，等腰三角形性質(zhì)，主要考查學(xué)生的推理能力．