Question

如圖，已知拋物線y=

1

2

x2+bx+c與y軸相交于C，與x軸相交于A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-1）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)E是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作DE⊥x軸于點(diǎn)D，連接DC，當(dāng)△DCE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在直線BC上是否存在一點(diǎn)P，使△ACP為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）由于拋物線經(jīng)過(guò)A（2，0），C（0，-1），
則有：

1 2 ×4+2b+c=0 c=-1

，
解得

b=- 1 2 c=-1

；
∴拋物線的解析式為：y=

1

2

x2-

1

2

x-1．

（2）∵A（2，0），C（0，-1），
∴直線AC：y=

1

2

x-1；
設(shè)D（x，0），則E（x，

1

2

x-1），
故DE=0-（

1

2

x-1）=1-

1

2

x；
∴△DCE的面積：S=

1

2

DE×|x_D|=

1

2

×（1-

1

2

x）×x=-

1

4

x²+

1

2

x=-

1

4

（x-1）²+

1

4

，
因此當(dāng)x=1，
即D（1，0）時(shí)，△DCE的面積最大，且最大值為

1

4

．

（3）由（1）的拋物線解析式易知：B（-1，0），
可求得直線BC的解析式為：y=-x-1；
設(shè)P（x，-x-1），因?yàn)锳（2，0），C（0，-1），則有：
AP²=（x-2）²+（-x-1）²=2x²-2x+5，
AC²=5，CP²=x²+（-x-1+1）²=2x²；
①當(dāng)AP=CP時(shí)，AP²=CP²，有：
2x²-2x+5=2x²，解得x=2.5，
∴P₁（2.5，-3.5）；
②當(dāng)AP=AC時(shí)，AP²=AC²，有：
2x²-2x+5=5，解得x=0（舍去），x=1，
∴P₂（1，-2）；
③當(dāng)CP=AC時(shí)，CP²=AC²，有：
2x²=5，解得x=±

10

2

，
∴P₃（

10

2

，-

10

2

-1），P₄（-

10

2

，

10

2

-1）；
綜上所述，存在符合條件的P點(diǎn)，且P點(diǎn)坐標(biāo)為：P₁（2.5，-3.5）、P₂（1，-2）、P₃（

10

2

，-

10

2

-1）、P₄（-

10

2

，

10

2

-1）．