Question

如圖，已知⊙O₁與⊙O₂都過點A，AO₁是⊙O₂的切線，⊙O₁交O₁O₂于點B，連接AB并延長交⊙O₂于點C，連接O₂C．如果AB•BC=16，O₂C=5，則tan∠AO₁O₂的值為（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：延長O₂O₁交⊙O₁于點D，連接AD，由題意可知三角形AO₁O₂為直角三角形，所以要求tan∠AO₁O₂的值只要求出AO₁的值問題得解．
解答：解：延長O₂O₁交⊙O₁于點D，連接AD．
∵O₁A為切線，
∴∠O₁AB+∠BAO₂=90°，
又∵AO₂=O₂C，
∴∠BAO₂=∠C，
又∵AO₁=BO₁，
∴∠O₁AB=∠ABO₁=∠CBO₂，
∴∠CBO₂+∠C=90°，
∴∠BO₂C=90°，
∴O₂C⊥O₁O₂；
∵BD是⊙O₁直徑，
∴∠BAD=90°．
∵∠BO₂C=90°，
∴∠BAD=∠BO₂C，又∠ABD=∠O₂BC，
∴△O₂BC∽△ABD，
，
∴AB•BC=O₂B•BD又BD=2BO₁，
∴AB•BC=2O₂B•BO₁．
∵∠D=∠C=∠O₂AB，即∠D=∠O₂AB，又∠AO₂B=∠DO₂A，
∴△AO₂B∽△DO₂A，
∴，
∴AO²₂=O₂B•O₂D，
∵O₂C=O₂A，
∴O₂C²=O₂B•O₂D①，
又∵AB•BC=O₂B•BD②，
由①-②得O₂C²-AB•BC=O₂B²即5²-16=O₂B²，
∴O₂B=3又O₂B•BD=AB•BC=16，
∴BD=，
∴2AO₁=BD=，
∴AO₁=，
∴tan∠AO₁O₂===，
故選A．
點評：本題主要考查了兩圓相交的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和相似三角形的性質(zhì)，此題比較繁瑣，綜合性很強，做題時應(yīng)該細心．