Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A（4，0）、B（0，4），連接AB，反比例函數y=

k

x

（k＞0，x＞0）的圖象經過AB的中點C．
（1）求△AOB的面積；
（2）若動點D在反比例函數y=

k

x

（k＞0，x＞0）圖象上（點D不與點c重合），以點D為圓心，OD為半徑畫圓與x軸、y軸分別交于點E、F，連接AF、BE、EF．
①根據上述語句，畫出圖形，試判斷點D是否在EF上？請說明理由；
②猜想AF與BE的位置關系，并說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數綜合題

專題：

分析：（1）由在平面直角坐標系中，點A（4，0）、B（0，4），即可求得△AOB的面積；
（2）①由∠EOF=90°，根據圓周角定理可得：EF為⊙D 的直徑，則可知點D在EF上．
②方法一：過D分別作DP⊥OE，DQ⊥OF，垂足分別為E、F，易求得點C的坐標，即可求得反比例函數的解析式，由反比例函數的性質，易求得S_△AOB=S_△EOF，繼而證得△AOF∽△EOB，則可證得AF∥BE；
方法二：首先根據題意可設點D坐標為（a，

4

a

），則OE=2OP=2a，OF=2DP=

8

a

，繼而求得直線AF與BE的解析式，即可判定AF與BE的位置關系．

解答：解：（1）∵點A（4，0）、B（0，4），
∴OA=OB=4，
∴S_△AOB=

1

2

OA•OB=

1

2

×4×4=8；

（2）①畫圖如右所示，點D在EF上．
理由如下：∵∠EOF=90°，
∴EF為⊙D 的直徑，
∴點D在EF上．

②AF∥BE．
理由如下：過D分別作DP⊥OE，DQ⊥OF，垂足分別為E、F，
由垂徑定理可得：OP=

1

2

OE，OQ=

1

2

OF．
方法一：∴S_△EOF=

1

2

OE•OF=2OP•OQ．
∵A（4，0）、B（0，4），AB的中點為C．
∴C（2，2），
∴反比例函數的解析式為y=

4

x

．
又∵動點D在反比例函數y=

4

x

（x＞0）圖象上，
∴OP•OQ=xy=4，
∴S_△EOF=8．
由（1）知，S_△AOB=8，
∴S_△AOB=S_△EOF，
∴OA•OB=OE•OF，
即

OA

OE

=

OF

OB

．
∵∠AOF=∠EOB，
∴△AOF∽△EOB，
∴∠EAO=∠BEO，
∴AF∥BE．

方法二：由A（4，0）、B（0，4）可求得C（2，2），
∴反比例函數的解析式為y=

4

x

．
∵動點D在反比例函數y=

4

x

（x＞0）圖象上，
∴可設點D坐標為（a，

4

a

），則OE=2OP=2a，OF=2DP=

8

a

，
∴E（2a，0），F（0，

8

a

），
設直線AF的解析式為y=k₁x+b₁，直線BE的解析式為y=k₂x+b₂，
∵A（4，0），F（0，

8

a

），
∴

4k1+b1=0 b1= 8 a

，
　解得k₁=-

2

a

，
同理可求k₂=-

2

a

，
∴AF∥BE．

點評：此題考查了反比例函數的性質、待定系數法求函數的解析式、相似三角形的判定與性質以及圓周角定理等知識．此題難度較大，綜合性較強，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．