【題目】如圖,已知⊙O是△ABC的外接圓,且AB=BC=CD,AB∥CD,連接BD.
(1)求證:BD是⊙O的切線;
(2)若AB=10,cos∠BAC=,求BD的長及⊙O的半徑.
【答案】(1)證明見解析;(2)BD=12,⊙O的半徑為
【解析】(1)如圖1,作直徑BE,半徑OC,證明四邊形ABDC是平行四邊形,得∠A=∠D,由等腰三角形的性質(zhì)得:∠CBD=∠D=∠A=∠OCE,可得∠EBD=90°,所以BD是⊙O的切線;
(2)如圖2,根據(jù)三角函數(shù)設(shè)EC=3x,EB=5x,則BC=4x根據(jù)AB=BC=10=4x,得x的值,求得⊙O的半徑為,作高線CG,根據(jù)等腰三角形三線合一得BG=DG,根據(jù)三角函數(shù)可得結(jié)論.
(1)如圖1,作直徑BE,交⊙O于E,連接EC、OC,
則∠BCE=90°,
∴∠OCE+∠OCB=90°,
∵AB∥CD,AB=CD,
∴四邊形ABDC是平行四邊形,
∴∠A=∠D,
∵OE=OC,
∴∠E=∠OCE,
∵BC=CD,
∴∠CBD=∠D,
∵∠A=∠E,
∴∠CBD=∠D=∠A=∠OCE,
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,
∴∠OBC+∠CBD=90°,
即∠EBD=90°,
∴BD是⊙O的切線;
(2)如圖2,∵cos∠BAC=cos∠E=,
設(shè)EC=3x,EB=5x,則BC=4x,
∵AB=BC=10=4x,
x=,
∴EB=5x=,
∴⊙O的半徑為,
過C作CG⊥BD于G,
∵BC=CD=10,
∴BG=DG,
Rt△CGD中,cos∠D=cos∠BAC=,
∴,
∴DG=6,
∴BD=12.
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【題目】如圖,△ABC中,AD⊥BC于點D,AD=DC,點F在AD上,AB=FC,BF的延長線交AC于點E.
(1)求證:△ABD≌△CFD.
(2)求證:CF⊥AB.
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【題目】小華與爸爸用一個如圖所示的五等分、可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤來玩游戲;將轉(zhuǎn)盤隨機(jī)轉(zhuǎn)一次,指針指向的數(shù)字如果是奇數(shù).爸爸獲勝,如果是偶數(shù),則小華獲勝(指針指到線上則重轉(zhuǎn))
(1)轉(zhuǎn)完轉(zhuǎn)盤后指針指向數(shù)字2的概率是多少?
(2)這個游戲公平嗎?請你說明理由.
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【題目】已知:如圖,等邊△ABC中,D、E分別在BC、AC邊上運動,且始終保持BD=CE,點D、E始終不與等邊△ABC的頂點重合.連接AD、BE,AD、BE交于點F.
(1)寫出在運動過程中始終全等的三角形,井選擇其中一組證明;
(2)運動過程中,∠BFD的度數(shù)是否會改變?如果改變,請說明理由;如果不變,求出∠BFD的度數(shù),再說明理由.
(3)直接寫出運動過程中,AE、AB、BD三條線段長度之間的等量關(guān)系.
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【題目】探索題:
(x-1)(x+1)=x-1
(x-1)(x+x+1)=x-1
(x-1)(x+x+x+1)=x-1
(x-1)(x+ x+x+x+1)=x-1
(1)觀察以上各式并猜想:
①(x-1)(x+x+x+ x+x+x+1)= ;
②(x-1)(x+x+x+… x+x+x+1)= ;
(2)請利用上面的結(jié)論計算:
①(-2)+(-2)+(-2)+…+(-2)+1
②若 x+x+…+x+x+x+1=0,求 x的值.
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【題目】閱讀下列文字,對于一個圖形,通過不同的方法計算圖形的面積,可以得到一個數(shù)學(xué)等式,例如:由圖1可以得到,請解答下列問題:
(1)寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式 ;
(2)利用(1)中所得到的結(jié)論,解決問題:已知,,求的值.
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【題目】一輛出租車司機(jī)某天在東西方向的公路上營運,往東行駛的路程記作正數(shù),往西行駛的路程記作負(fù)數(shù).全天行程的記錄如下:30,-28,-13,15,27,-30,45,-27;(單位:千米)
(1)當(dāng)小張將最后一位乘客送到目的地時,距出發(fā)地點的距離為多少千米?
(2)若每千米的營業(yè)額為7元,則小張這天的總營業(yè)額為多少元?
(3)在(2)的情況下,如果營運成本為每千米2元,那么這天盈利多少元?
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