Question

18．如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，BD＜CD，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，矩形EFGH的邊EF在BC上，CF=AH，GH經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，AB、AC分別交HE、GF于點(diǎn)M、N．
（1）求證：△AHM≌△CFN；
（2）判斷四邊形AMDN的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）若EF=8，HE=4，AD⊥MD，求線(xiàn)段AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)得到∠B=∠C，∠HAM=∠C，證明△AHM≌△CFN；
（2）四邊形AMDN是平行四邊形，理由如下：AHM≌△CFN，得到AM=CN，證明BM=DM=AN，DM∥AN，利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即可解答；
（3）過(guò)點(diǎn)A作AP⊥BC于P，先利用等腰三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)求出BP=CP=$\frac{1}{2}$BC，AH=EP，AP=HE=4，再根據(jù)四邊形AMDN是平行四邊形和勾股定理求出AB=4$\sqrt{5}$．設(shè)EM=x，由tan∠B=$\frac{ME}{BE}=\frac{AP}{BP}$，求出BE=2x．DE=BE=2x． 在Rt△BEM中，利用勾股定理求出BM=$\sqrt{{x}^{2}+（2x）^{2}}=\sqrt{5}x$=DM．所以AM=AB-BM=4$\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$x，
在Rt△APD中，表示出AD²=AP²+DP²=4²+（8-4x）²．當(dāng)AD⊥MD時(shí)，在Rt△AMD中，AD²+MD²=AM²．即：${4}^{2}+（8-4x）^{2}+（\sqrt{5}x）^{2}=（4\sqrt{5}-\sqrt{5}x）^{2}$，
解得：x=$\frac{3}{2}$．最后再利用勾股定理求出AD即可．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵四邊形EFGH是矩形．
∴GH∥BC，∠H=∠CFN=90°，
∴∠B=∠HAM
∴∠HAM=∠C，
在△AHM和△CFN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠H=∠CFN}\\{∠HAM=∠C}\\{AH=CF}\end{array}\right.$
∴△AHM≌△CFN．            
（2）四邊形AMDN是平行四邊形，理由如下：
∵△AHM≌△CFN．
∴AM=CN．                          
又AB=AC．
∴AB-AM=AC-CN
即BM=AN．                             
∵點(diǎn)E是線(xiàn)段BD的中點(diǎn)，∠MED=90°．
∴BM=DM．                             
∴DM=AN，∠MDB=∠B．
∴∠MDB=∠C．                            
∴DM∥AN．
∴四邊形AMDN是平行四邊形．                 
（3）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AP⊥BC于P，則BP=CP=$\frac{1}{2}$BC，AH=EP，AP=HE=4．  

∵四邊形AMDN是平行四邊形．
∴DN=AM=CN．
∴DF=CF．                                                 
∵EF=8．
∴BC=BD+CD=2ED+2DF=16．
∴BP=$\frac{1}{2}$BC=8．
∴AB=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$．
設(shè)EM=x，由tan∠B=$\frac{ME}{BE}=\frac{AP}{BP}$，得$\frac{x}{BE}=\frac{4}{8}$，即BE=2x．
∴DE=BE=2x．                                               
則DP=BP-BD=8-4x，在Rt△BEM中，BM=$\sqrt{{x}^{2}+（2x）^{2}}=\sqrt{5}x$=DM．
∴AM=AB-BM=4$\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$x，
在Rt△APD中，AD²=AP²+DP²=4²+（8-4x）²．
當(dāng)AD⊥MD時(shí)，在Rt△AMD中，AD²+MD²=AM²．
即：${4}^{2}+（8-4x）^{2}+（\sqrt{5}x）^{2}=（4\sqrt{5}-\sqrt{5}x）^{2}$，
解得：x=$\frac{3}{2}$．
∴AD=$\sqrt{{4}^{2}+（8-4×\frac{3}{2}）^{2}}=2\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)定理與判定定理、平行四邊形的性質(zhì)定理與判定定理、矩形的性質(zhì)定理、勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是熟記等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)定理與判定定理、平行四邊形的性質(zhì)定理與判定定理、矩形的性質(zhì)定理，在（3）中的關(guān)鍵是作出輔助線(xiàn)，利用勾股定理解決問(wèn)題．