Question

13．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，其面積標(biāo)記為S₁，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S₂，…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則S₂₀₁₆的值為（　�。�

• A． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²⁰¹³
• B． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²⁰¹⁴
• C． （$\frac{1}{2}$）²⁰¹³
• D． （$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁴

Answer 1

分析 根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出S₂+S₂=S₁，寫出部分S_n的值，根據(jù)數(shù)的變化找出變化規(guī)律“S_n=$（\frac{1}{2}）^{n-3}$”，依此規(guī)律即可得出結(jié)論．

解答 解：在圖中標(biāo)上字母E，如圖所示．
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，△CDE為等腰直角三角形，
∴DE²+CE²=CD²，DE=CE，
∴S₂+S₂=S₁．
觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：S₁=2²=4，S₂=$\frac{1}{2}$S₁=2，S₃=$\frac{1}{2}$S₂=1，S₄=$\frac{1}{2}$S₃=$\frac{1}{2}$，…，
∴S_n=$（\frac{1}{2}）^{n-3}$．
當(dāng)n=2016時(shí)，S₂₀₁₆=$（\frac{1}{2}）^{2016-3}$=$（\frac{1}{2}）^{2013}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及規(guī)律型中數(shù)的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律“S_n=$（\frac{1}{2}）^{n-3}$”．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，寫出部分S_n的值，根據(jù)數(shù)值的變化找出變化規(guī)律是關(guān)鍵．