Question

已知：在正方形ABCD中，E、G分別是射線CB、DA上的兩個動點(diǎn)，點(diǎn)F是CD邊上，滿足EG⊥BF，

（1）如圖1，當(dāng)E、G在CB、DA邊上運(yùn)動時（不與正方形頂點(diǎn)重合），求證：GE=BF．
（2）如圖2，在（1）的情況下，連結(jié)GF，求證：FG+BE＞

2

BF．
（3）如圖3，當(dāng)E、G運(yùn)動到BC、AD的反向延長線時，請你直接寫出FG、BE、BF三者的數(shù)量關(guān)系（不必寫出證明過程）．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）過點(diǎn)G作GH⊥BC于H，可得四邊形ABHG是矩形，根據(jù)矩形的對邊相等可得AB=GH，再求出BC=GH，然后根據(jù)同角的余角相等可得∠CBF=∠HGE，然后根據(jù)“角邊角”證明△BCF和△GHE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得GE=BF；
（2）把△BCF繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BAH，連接HF，可得△BFH是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得HF=

2

BF，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BH=BF，再根據(jù)垂直于同一直線的兩直線互相平行可得BH∥GE，然后求出四邊形BEGH是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊相等可得GH=BE，然后利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊證明即可；
（3）證明方法同（2）．

解答：（1）證明：如圖，過點(diǎn)G作GH⊥BC于H，
則四邊形ABHG是矩形，
∴AB=GH，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∴BC=GH，
∵EG⊥BF，
∴∠CBF+∠BEG=∠HGE+∠BEG=90°，
∴∠CBF=∠HGE，
在△BCF和△GHE中，

∠CBF=∠HGE BC=GH ∠C=∠GEH=90°

，
∴△BCF≌△GHE（ASA），
∴GE=BF；

（2）證明：如圖，把△BCF繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BAH，連接HF，
則△BFH是等腰直角三角形，
∴HF=

2

BF，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，BH=BF，
∵BF=GE，
∴BH=GE，
∵EG⊥BF，∠HBF=90°，
∴BH∥GE，
∴四邊形BEGH是平行四邊形，
∴GH=BE，
在△GHF中，F(xiàn)G+GH＞HF，
∴FG+BE＞

2

BF；

（3）解：如圖，同（2）可得GH=BE，HF=

2

BF，
在△GHF中，HF+GH＞FG，
∴

2

BF+BE＞FG．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的任意兩邊之和大于第三邊，平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形和平行四邊形是解題的關(guān)鍵．