Question

【題目】在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°，將△ABC 繞點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜90°）得△A1BC1，A1B 交 AC 于點(diǎn) E，A1C1 分別交 AC、BC 于 D、F 兩點(diǎn)．

（1）如圖 1，觀察并猜想，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段 EA1 與 FC 有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 并證明你的結(jié)論；

（2）如圖 2，當(dāng)α=30°時(shí)，試判斷四邊形 BC1DA 的形狀，并說明理由；

（3）在（2）的情況下，求 ED 的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）EA1=FC．證明見解析；（2）四邊形 BC1DA 是菱形．證明見解析；（3）ED=2-.

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)邊相等和對(duì)應(yīng)角相等，從而得到全等三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明；

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，易發(fā)現(xiàn)該四邊形的四條邊相等，從而證明是菱形；

（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)和解直角三角形的知識(shí)以及等腰三角形的性質(zhì)求解．

（1）EA1=FC．

證明：∵AB=BC，

∴∠A=∠C．

由旋轉(zhuǎn)可知，AB=BC1，∠A=∠C1，∠ABE=∠C1BF，

∴△ABE≌△C1BF．

∴BE=BF，又∵BA1=BC，

∴BA1﹣BE=BC﹣BF．即 EA1=FC．

（2）四邊形 BC1DA 是菱形．

證明：∵∠A1=∠ABA1=30°，

∴A1C1∥AB，同理 AC∥BC1．

∴四邊形 BC1DA 是平行四邊形． 又∵AB=BC1，

∴四邊形 BC1DA 是菱形．

（3）過點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，則AG=BG=1．

在Rt△AEG中，AE=.

由（2）知四邊形BC1DA是菱形，

∴AD=AB=2，

∴ED=AD-AE=2-．