【題目】如圖,是的直徑,點(diǎn)是上一點(diǎn),點(diǎn)是的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作的切線,與、的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)、,連接.
(1)求證:;
(2)直接回答:①已知,當(dāng)為何值時(shí),?
②連接、、,當(dāng)等于多少度時(shí),四邊形是菱形?
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)①;②.
【解析】
(1)連接OD,由點(diǎn)D是弧CB的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線,可得OD⊥EF,AF∥OD,進(jìn)而得出AF⊥EF;
(2)①當(dāng)BE=4時(shí),連接BC,證明△ACB∽△AFE,所以,即AC=CF;
②當(dāng)∠E=30°時(shí),證明△ODB,△AOC,△COD為等邊三角形,所以OB=BD=OD=CD=OC,即四邊形OBDC是菱形.
如圖1,連接,
∵點(diǎn)是的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作的切線,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴.
(2)①當(dāng) 時(shí),.
如圖2,連接BC,
,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°,
∵AF⊥EF,
∴∠ACB=∠F=90°,
∴BC∥EF,
∴△ACB∽△AFE,
∴.
∴AC=CF.
②當(dāng)時(shí), 四邊形是菱形.
如圖3,
∵EF是過(guò)點(diǎn)D的⊙O的切線,
∴∠ODE=∠F=90°,
∴∠DOE=∠CAO=60°,
∵OD=OB=OC=OA,
∴△ODB,△AOC為等邊三角形,
∴∠COA=∠DOB=60°,
∴∠COD=60°,
∴△COD為等邊三角形,
∴OB=BD=OD=CD=OC,
∴四邊形OBDC是菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了做好開(kāi)學(xué)準(zhǔn)備,某校共購(gòu)買了20桶A、B兩種桶裝消毒液,進(jìn)行校園消殺,以備開(kāi)學(xué).已知A種消毒液300元/桶,每桶可供2 000米2的面積進(jìn)行消殺,B種消毒液200元/桶,每桶可供1 000米2的面積進(jìn)行消殺.
(1)設(shè)購(gòu)買了A種消毒液x桶,購(gòu)買消毒液的費(fèi)用為y元,寫出y與x之間的關(guān)系式,并指出自變量x的取值范圍;
(2)在現(xiàn)有資金不超過(guò)5 300元的情況下,求可消殺的最大面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,⊙O的半徑為r,在射線OM上任取一點(diǎn)P(不與點(diǎn)O重合),如果射線OM上的點(diǎn)P',滿足OP·OP'=r2,則稱點(diǎn)P'為點(diǎn)P關(guān)于⊙O的反演點(diǎn).
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知⊙O的半徑為2.
(1)已知點(diǎn)A (4,0),求點(diǎn)A關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)A'的坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)B關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)B'恰好為直線與直線x=4的交點(diǎn),求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)C為直線上一動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)C關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)C'在⊙O的內(nèi)部,求點(diǎn)C的橫坐標(biāo)m的范圍;
(4)若點(diǎn)D為直線x=4上一動(dòng)點(diǎn),直接寫出點(diǎn)D關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)D'的橫坐標(biāo)t的范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一個(gè)不透明的口袋里面有13個(gè)完全相同的小球,在每一個(gè)小球上書寫一個(gè)漢字,這些漢字組成一句話:“知之為知之,不知為不知,是知也”.隨機(jī)摸出一個(gè)小球然后放回,再隨機(jī)摸取一個(gè)小球,兩次取出的小球都是“知”的概率是______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】拋物線y=x2+bx+c與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A,與x軸正半軸交于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C.
(1)如圖1,若OB=2OA=2OC
①求拋物線的解析式;
②若M是第一象限拋物線上一點(diǎn),若cos∠MAC=,求M點(diǎn)坐標(biāo).
(2)如圖2,直線EF∥x軸與拋物線相交于E、F兩點(diǎn),P為EF下方拋物線上一點(diǎn),且P(m,﹣2).若∠EPF=90°,則EF所在直線的縱坐標(biāo)是否為定值,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,對(duì)折矩形紙片ABCD,使AD與BC重合,得到折痕EF,把紙片展平,再一次折疊紙片,使點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)A′處,并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,得到折痕BM,若矩形紙片的寬AB=4,則折痕BM的長(zhǎng)為( )
A.B.C.8D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AC上一點(diǎn),過(guò)B,C,D三點(diǎn)的⊙O交AB于點(diǎn)E,連接ED,EC,點(diǎn)F是線段AE上的一點(diǎn),連接FD,其中∠FDE=∠DCE.
(1)求證:DF是⊙O的切線.
(2)若D是AC的中點(diǎn),∠A=30°,BC=4,求DF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,單位長(zhǎng)度為1的網(wǎng)格坐標(biāo)系中,一次函數(shù) 與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn),反比例函數(shù)(x>0)經(jīng)過(guò)一次函數(shù)上一點(diǎn)C(2,a).
(1)求反比例函數(shù)解析式,并用平滑曲線描繪出反比例函數(shù)圖像;
(2)依據(jù)圖像直接寫出當(dāng)時(shí)不等式的解集;
(3)若反比例函數(shù)與一次函數(shù)交于C、D兩點(diǎn),使用直尺與2B鉛筆構(gòu)造以C、D為頂點(diǎn)的矩形,且使得矩形的面積為10.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示的曲邊三角形可按下述方法作出:作等邊三角形;分別以點(diǎn),,為圓心,以的長(zhǎng)為半徑作,,.三段弧所圍成的圖形就是一個(gè)曲邊三角形,如果一個(gè)曲邊三角形的周長(zhǎng)為,那么這個(gè)曲邊三角形的面積是___________.
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