【題目】定義:我們把關(guān)于某一點(diǎn)成中心對(duì)稱的兩條拋物線叫“孿生拋物線”;(1)已知拋物線L:y=﹣x2+4與x軸交于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè)),與y軸交于C點(diǎn),求L關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0)的“孿生拋物線”W;(2)點(diǎn)N為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn),且△BCN是以BC為斜邊的等腰直角三角形,在x軸是否存在一點(diǎn)M(m,0),使拋物線L關(guān)于點(diǎn)M的“孿生拋物線”過點(diǎn)N,如果存在,求出M點(diǎn)坐標(biāo);不存在,說(shuō)明理由.
【答案】(1)y=x2﹣4;(2)存在,(,0),(,0),(,0),(,0)
【解析】
(1)根據(jù)題意畫出L的圖象,由W與L是“孿生拋物線”關(guān)于原點(diǎn)O(0,0)中心對(duì)稱,則以判斷W與y軸交于點(diǎn)(0,﹣4)且開口向上,且對(duì)稱軸不變,畫出W圖象直接寫出解析式即可;
(2)根據(jù)題意作BC的中垂線,在中垂線上找到點(diǎn)N,使得NB⊥NC且,NB=NC.發(fā)現(xiàn)這樣的點(diǎn)N在BC的中垂線上有兩個(gè),需分情況討論,當(dāng)N在BC左側(cè)時(shí),設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(n,t),拋物線L的孿生拋物線解析式為y=(x±2m)2﹣4然后利用數(shù)形結(jié)合的思想求解即可.
解:(1)∵拋物線L與拋物線W關(guān)于原點(diǎn)O(0,0)成中心對(duì)稱
∴W與L開口方向相反,對(duì)稱軸不變,與x軸交于點(diǎn)(﹣2,0)和點(diǎn)(2,0),與y軸交于點(diǎn)(0,﹣4)
依題意畫圖象
∴拋物線W的解析式為,y=x2﹣4
(2)存在.
當(dāng)N在BC左側(cè)時(shí)如圖2﹣1及圖2﹣2
∵△BCN是以BC為斜邊的等腰直角三角形
∴在BC上取其中點(diǎn)E并過E作線段EN⊥BC,且截取EN=BC
∵設(shè)L關(guān)于M(m,0)的“孿生拋物線”解析式為y=(x﹣2m)2﹣4,N(n,t).
則t=(n﹣2m)2﹣4.
過N作線段FG⊥x軸于點(diǎn)G,連接CF∥x軸.
由△BCN是以BC為斜邊的等腰直角三角形得BN=CN,
又∵∠FNC+∠CNB+∠BNG=180°,∠CNB=90°
∴∠FNC+∠BNG=90°
又∵∠FNV+∠NCF=90°
∴∠NCF=∠BNG
∴在△FNC與△GBN中
∴△FNC≌△GBN(AAS)
∴FN=BG=2﹣n
又∵FN=4﹣t=4﹣[(n﹣2m)2﹣4].=8﹣(n﹣2m)2
∴2﹣n=8﹣(n﹣2m)2
又∵GO=FC=NG
∴t=﹣n,即(n﹣2m)2﹣4=﹣n.
∴(n﹣2m)2=4﹣n
∴8﹣(n﹣2m)2=8﹣(4﹣n)=4+n
∴2﹣n=4+n
解得,n=﹣1
把n=﹣1代入(n﹣2m)2=4﹣n中得,(﹣1﹣2m)2=4﹣(﹣1)
解得,m=
故此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)可以為,(,0),(,0)
當(dāng)N在BC右側(cè)時(shí)如圖3﹣1及3﹣2
設(shè)L關(guān)于M(m,0)的“孿生拋物線”解析式為y=(x﹣2m)2﹣4,N(n,t).
同理易證△CNF≌△NBG(AAS)
∴FN=BG
即4﹣t=2﹣n
解得,t=6﹣n
∴N(n,6﹣n)
又∵△BCN為等腰直角三角形
∴BN=BC=
又∵在Rt△NBG中,BG2+NG2=BN2
∴(n﹣2)2+(6﹣n)2=10
整理得,n2﹣8n+15=0
解得,n=3或n=5
∴N(3,3)或N(5,1)
當(dāng)N點(diǎn)坐標(biāo)為(5,1)時(shí),△BNC不是等腰直角三角形,這與題目已知條件相矛盾,
故N點(diǎn)坐標(biāo)只能。3,3).
又∵N在L的“孿生拋物線”上,
則把N(3,3)代入y=(x﹣2m)2﹣4中得,
3=(3﹣2m)2﹣4
解得,m=或m=
故此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(,0)或(,0).
綜上所述,滿足題意的M點(diǎn)的坐標(biāo)可以為(,0),(,0),(,0),(,0).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在等腰ABC中,AB=AC,∠BAC=50°,∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點(diǎn)O、點(diǎn)C沿EF折疊后與點(diǎn)O重合,則∠CEF的度數(shù)是( 。
A. 60° B. 55° C. 50° D. 45°
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【題目】“南昌之星”摩天輪,位于江西省南昌市紅谷灘新區(qū)紅角洲贛江邊上的贛江市民公園,摩天輪高(最高點(diǎn)到地面的距離).如圖,點(diǎn)是摩天輪的圓心,是其垂直于地面的直徑,小賢在地面點(diǎn)處利用測(cè)角儀測(cè)得摩天輪的最高點(diǎn)的仰角為,測(cè)得圓心的仰角為,則摩天輪的半徑為________(結(jié)果保留).
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【題目】某教育主管部門針對(duì)中小學(xué)生非統(tǒng)考學(xué)科的教學(xué)情況進(jìn)行年終考評(píng),抽取某校八年級(jí)部分同學(xué)的成績(jī)作為樣本,把成績(jī)按(優(yōu)秀)、(良好)、(及格)、(不及格)四個(gè)級(jí)別進(jìn)行統(tǒng)計(jì),并繪成如圖所示不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖.
(1)求被抽取的學(xué)生人數(shù);
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖,并求的圓心角度數(shù);
(3)該校八年級(jí)有名學(xué)生,請(qǐng)估計(jì)達(dá)到、兩級(jí)的總?cè)藬?shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】去年4月,過敏體質(zhì)檢測(cè)中心等機(jī)構(gòu)開展了青少年形體測(cè)評(píng),專家組隨機(jī)抽查了某市若干名初中生坐姿、站姿、走姿的好壞情況.我們對(duì)專家的測(cè)評(píng)數(shù)據(jù)作了適當(dāng)處理(如果一個(gè)學(xué)生有一種以上不良姿勢(shì),我們以他最突出的一種作記載),并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你根據(jù)圖中所給信息解答些列問題:
(1)請(qǐng)將兩幅圖補(bǔ)充完整;
(2)如果全市有10萬(wàn)名初中生,那么全市初中生中,三姿良好的學(xué)生約有 人.
(3)根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果,請(qǐng)你簡(jiǎn)單談?wù)勛约旱目捶ǎ?/span>
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=45°,∠B=60°,BC為+1,點(diǎn)P為邊AB上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D,PE⊥AC于點(diǎn)E,則DE的最小值為_____.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),點(diǎn)A(4,0),點(diǎn)B(0,3),△ABO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得△A′BO′,點(diǎn)A、O旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′、O′,記旋轉(zhuǎn)角為α.
(1)如圖1,若α=90°,求AA′的長(zhǎng);
(2)在(1)的條件下,邊OA上的一點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為N,當(dāng)O′M+BN取得最小值時(shí),在圖中畫出求點(diǎn)M的位置,并求出點(diǎn)N的坐標(biāo)。
(3)如圖2,在△ABO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中,以AB、A′B為鄰邊畫菱形AB A′E,F是AB的中點(diǎn),連A′F交BE于P,BP的垂直平分線交AB于K,當(dāng)α從60°到90°的變化過程中,點(diǎn)K的位置是否變化?若不變,求BK的長(zhǎng)并直接寫出此變化過程中點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,內(nèi)接于,點(diǎn)為中點(diǎn),點(diǎn)在上,連接點(diǎn)是的中點(diǎn),連結(jié).
(1)求證:;
(2)如圖2,若平分與交于點(diǎn)延長(zhǎng),與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)求證:;
(3)在(2)的條件下,若,求的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=8,BC=6,E為AD上一點(diǎn),將△BAE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△BA′E′,當(dāng)點(diǎn)A′,E′分別落在BD,CD上時(shí),則DE的長(zhǎng)為_____.
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