Question

8．如圖，點P是⊙O外一點，PA切⊙O于點A，AB是⊙O的直徑，連接OP，過點B作BC∥OP交⊙O于點C，連接AC交OP于點D．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若PD=$\frac{16}{3}$cm，AC=8cm，點E是$\widehat{AB}$的中點，連接CE，求CE的長．

Answer 1

分析 （1）如圖，連接OC，先利用切線的性質(zhì)得到∠PAO=90°，在利用平行線的性質(zhì)得到∠AOP=∠OBC，∠COP=∠OCB，接著證明△PAO≌△PCO 得到∠PAO=∠PCO=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；
（2）連結(jié)EA、EB，作BH⊥CE于H，如圖，利用圓周角定理得到∠ACB=∠AEB=90°，在利用平行線的性質(zhì)和垂徑定理得到AD=CD=$\frac{1}{2}$AC=4，則利用勾股定理計算出PA=$\frac{20}{3}$，接著證明Rt△PAD∽Rt△POA，利用相似比計算出PO=$\frac{25}{3}$，則OD=PO-PD=3，BC=2OD=6，于是利用勾股定理可計算出AB=10，接下來證明△BCH和△ABE都是等腰直角三角形，所以CH=BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=3$\sqrt{2}$，BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=5$\sqrt{2}$，然后利用勾股定理計算出EH即可得到CE的長．

解答 （1）證明：如圖，連接OC，
∵PA切⊙O于A．
∴OA⊥PA，
∴∠PAO=90°，
∵OP∥BC，
∴∠AOP=∠OBC，∠COP=∠OCB，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠AOP=∠COP，
在△PAO和△PCO中
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{∠AOP=∠COP}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△PAO≌△PCO  （SAS），
∴∠PAO=∠PCO=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切線；
（2）解：連結(jié)EA、EB，作BH⊥CE于H，如圖，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=∠AEB=90°，
∵OP∥BC，
∴PO⊥AC，
∴AD=CD=$\frac{1}{2}$AC=4，
在Rt△PAD中，PA=$\sqrt{P{D}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{16}{3}）^{2}+{4}^{2}}$=$\frac{20}{3}$，
∵∠APO=∠DPA，
∴Rt△PAD∽Rt△POA，
∴PA：PO=PD：PA，即$\frac{20}{3}$：PO=$\frac{16}{3}$：$\frac{20}{3}$，解得PO=$\frac{25}{3}$，
∴OD=PO-PD=3，
∵AO=BO，OD∥BC，
∴BC=2OD=6，
在Rt△ACB中，AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵點E是$\widehat{AB}$的中點，
∴∠BCE=∠ACE=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，
∴AE=BE，
∴△BCH和△ABE都是等腰直角三角形，
∴CH=BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=3$\sqrt{2}$，BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=5$\sqrt{2}$，
在Rt△BEH中，EH=$\sqrt{（5\sqrt{2}）^{2}-（3\sqrt{2}）^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴CE=CH+EH=3$\sqrt{2}$+4$\sqrt{2}$=7$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了切線的判斷與性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．常見的輔助線為：判定切線時“連圓心和直線與圓的公共點”或“過圓心作這條直線的垂線”； 有切線時，常常“遇到切點連圓心得半徑”．解決（2）小題的關(guān)鍵是構(gòu)建等腰直角三角形，把CE分為CH和EH進行計算．