Question

13．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，延長BA到點(diǎn)D，使AD等于二分之一AB，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，AC的中點(diǎn)．
（1）求證：四邊形AEFD是平行四邊形；
（2）若BC=10cm，且∠C=30°，求四邊形AEFD的面積．

Answer 1

分析 （1）直接利用三角形中位線定理得出EF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，進(jìn)而利用平行四邊形的判定方法得出答案；
（2）利用直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理得出AB，BC的長，進(jìn)而得出四邊形AEFD的面積．

解答 （1）證明：∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，AC的中點(diǎn)，
∴EF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，
∵AD=$\frac{1}{2}$AB，D在AB的延長線上，
∴EF$\stackrel{∥}{=}$AD，
∴四邊形AEFD是平行四邊形；

（2）解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=10cm，且∠C=30°，
∴AB=$\frac{1}{2}$BC=5cm，則AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=5$\sqrt{3}$（cm），
∴EF=AD=$\frac{5}{2}$cm，AF=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$cm，
∴四邊形AEFD的面積為：$\frac{5}{2}$×$\frac{5\sqrt{3}}{2}$=$\frac{25\sqrt{3}}{4}$（cm²）．

點(diǎn)評 此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，正確掌握平行四邊形的判定方法是解題關(guān)鍵．