【題目】證明題
(1)已知一元二次方程x2+px+q=0(p2-4q≥0)的兩根為x1、x2;求證:x1+x2=-p , x1 x2=q .
(2)已知拋物線y=x2+px+q與x軸交于A、B兩點,且過點(-1,-1),設(shè)線段AB的長為d,當p為何值時,d2取得最小值,并求出最小值.
【答案】
(1)
證明:
∵a=1,b=p,c=q
∴△=p2-4q
∴x=
即x1= ,x2=
∴x1+x2= + =-p,
x1x2= =q
(2)
解:把(-1,-1)代入得p-q=2,q=p-2
設(shè)拋物線y=x2+px+q與x軸交于A、B的坐標分別為(x1,0)、(x2,0)
∵d=|x1-x2|,∴d2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=p2-4q=p2-4p+8=(p-2)2+4
當p=2時,d2的最小值是4.
【解析】(1)先根據(jù)求根公式得出x1、x2的值,再求出兩根的和與積即可;(2)把點(-1,-1)代入拋物線的解析式,再由d=|x1-x2|可知d2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4 x1x2=p2 , 再由(1)中 x1+x2=-p , x1x2=q即可得出結(jié)論.
【考點精析】掌握根與系數(shù)的關(guān)系和拋物線與坐標軸的交點是解答本題的根本,需要知道一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系數(shù)a、b、c而定;兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù);兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商;一元二次方程的解是其對應的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標.因此一元二次方程中的b2-4ac,在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點.當b2-4ac>0時,圖像與x軸有兩個交點;當b2-4ac=0時,圖像與x軸有一個交點;當b2-4ac<0時,圖像與x軸沒有交點.
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【題目】將拋物線y=3x2向上平移3個單位,再向左平移2個單位,那么得到的拋物線的解析式為( 。
A.y=3 +3
B.y=3 +3
C.y=3 -3
D.y=3 -3
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【題目】如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,點E是邊CD上一點,且BC=EC,CF⊥BE交AB于點F,P是EB延長線上一點,下列結(jié)論:①BE平分∠CBF;②CF平分∠DCB;③BC=FB;④PF=PC,其中正確結(jié)論的個數(shù)為( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】如圖,是二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的一部分,給出下列命題:①a+b+c=0;②b>2a;③ax2+bx+c=0的兩根分別為-3和1;④a-2b+c>0.其中正確的命題是 . (只要求填寫正確命題的序號)
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【題目】某公司準備與汽車租憑公司簽訂租車合同,以每月用車路程xkm計算,甲汽車租憑公司每月收取的租賃費為y1元,乙汽車租憑公司每月收取的租賃費為y2元,若y1、y2與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖3所示,其中x=0對應的函數(shù)值為月固定租賃費,則下列判斷錯誤的是( )
A. 當月用車路程為2000km時,兩家汽車租賃公司租賃費用相同
B. 當月用車路程為2300km時,租賃乙汽車租賃公車比較合算
C. 除去月固定租賃費,甲租賃公司每公里收取的費用比乙租賃公司多
D. 甲租賃公司平均每公里收到的費用比乙租賃公司少
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【題目】在精準扶貧中,某村的李師傅在縣政府的扶持下,去年下半年,他對家里的3個溫室大棚進行修整改造,然后,1個大棚種植香瓜,另外2個大棚種植甜瓜,今年上半年喜獲豐收,現(xiàn)在他家的甜瓜和香瓜已全部售完,他高興地說:“我的日子終于好了”.
最近,李師傅在扶貧工作者的指導下,計劃在農(nóng)業(yè)合作社承包5個大棚,以后就用8個大棚繼續(xù)種植香瓜和甜瓜,他根據(jù)種植經(jīng)驗及今年上半年的市場情況,打算下半年種植時,兩個品種同時種,一個大棚只種一個品種的瓜,并預測明年兩種瓜的產(chǎn)量、銷售價格及成本如下:
現(xiàn)假設(shè)李師傅今年下半年香瓜種植的大棚數(shù)為x個,明年上半年8個大棚中所產(chǎn)的瓜全部售完后,獲得的利潤為y元.
根據(jù)以上提供的信息,請你解答下列問題:
(1)求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求出李師傅種植的8個大棚中,香瓜至少種植幾個大棚?才能使獲得的利潤不低于10萬元.
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【題目】一個有進水管與出水管的容器,從某時刻開始4 min內(nèi)只進水不出水,在隨后的8 min內(nèi)既進水又出水,每分的進水量和出水量是兩個常數(shù).容器內(nèi)的水量y(單位:L)與時間x(單位:min)之間的關(guān)系如圖所示.
(1)當4≤x≤12時,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(2)直接寫出每分進水,出水各多少升.
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=1,與x軸的一個交點坐標為(﹣1,0),其部分圖象如圖所示,下列結(jié)論:
①4ac<b2;
②方程ax2+bx+c=0的兩個根是x1=﹣1,x2=3;
③3a+c>0
④當y>0時,x的取值范圍是﹣1≤x<3
⑤當x<0時,y隨x增大而增大
其中結(jié)論正確的個數(shù)是( 。
A.4個
B.3個
C.2個
D.1個
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【題目】某校九年級(1)班所有學生參加2016年初中畢業(yè)生升學體育測試,根據(jù)測試評分標準,將他們的成績進行統(tǒng)計后分為A、B、C、D四等,并繪制成如圖所示的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖(未完成),請結(jié)合圖中所給信息解答下列問題:
(1)、九年級(1)班參加體育測試的學生有 人;
(2)、將條形統(tǒng)計圖補充完整.
(3)、在扇形統(tǒng)計圖中,等級B部分所占的百分比是 ;
(4)、若該校九年級學生共有850人參加體育測試,估計達到A級和B級的學生共有多少人?
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