【題目】如圖,已知正方形ABCD的邊長為1,正方形CEFG的面積為,點E在CD邊上,點G在BC的延長線上,設(shè)以線段AD和DE為鄰邊的矩形的面積為,且.
⑴求線段CE的長;
⑵若點H為BC邊的中點,連結(jié)HD,求證:.
【答案】(1)CE=;(2)見解析.
【解析】
根據(jù)正方形的性質(zhì),
(1)先設(shè)CE=x(0<x<1),則DE=1-x,由S1=S2,列等式即可得到答案.
(2)根據(jù)勾股定理得到HD,再由H,C,G在同一直線上,得證HD=HG.
根據(jù)題意,得AD=BC=CD=1,∠BCD=90°.
(1)設(shè)CE=x(0<x<1),則DE=1-x,
因為S1=S2,所以x2=1-x,
解得x=(負(fù)根舍去),
即CE=
(2)因為點H為BC邊的中點,
所以CH=,所以HD=,
因為CG=CE=,點H,C,G在同一直線上,
所以HG=HC+CG=+=,所以HD=HG
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,E是AD上一點,PQ垂直平分BE,分別交AD、BE、BC于點P、O、Q,連接BP、EQ.
(1)求證:四邊形BPEQ是菱形;
(2)若AB=6,F(xiàn)為AB的中點,OF+OB=9,求PQ的長.
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【題目】甲、乙兩家超市以相同的價格出售同樣的商品,為了吸引顧客,各自推出不同的優(yōu)惠方案;在甲超市累計購買商品超出200元之后,超出部分按原價8折優(yōu)惠;在乙超市累計購買商品超出100元之后,超出部分按原價8.5折優(yōu)惠,設(shè)顧客購物的原費用是x元(x>200).
(1)請用含x的代數(shù)式分別表示顧客在兩家超市購物所付的實際費用;
(2)李明慧準(zhǔn)備購買300元的商品,你認(rèn)為他應(yīng)該去哪家超市?請說明理由;
(3)計算一下,李明慧購買多少元的商品時,到兩家超市購物所付的費用一樣?
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【題目】已知數(shù)軸上三點M,O,N對應(yīng)的數(shù)分別為-3,0,1,點P為數(shù)軸上任意一點,其對應(yīng)的數(shù)為x.
(1)如果點P到點M,點N的距離相等,那么x的值是______;
(2)數(shù)軸上是否存在點P,使點P到點M,點N的距離之和是5?若存在,請直接寫出x的值;若不存在,請說明理由.
(3)如果點P以每分鐘3個單位長度的速度從點O向左運動時,點M和點N分別以每分鐘1個單位長度和每分鐘4個單位長度的速度也向左運動,且三點同時出發(fā),那么幾分鐘時點P到點M,點N的距離相等.(直接寫出答案)
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【題目】閱讀材料并解決問題:
(1)數(shù)學(xué)課上,老師提出如下問題:
觀察下列算式:
;
;
…
若字母表示自然數(shù),用含的式子表示觀察得到的規(guī)律是 ;
(2)小云同學(xué)解決完老師提出的問題后,又繼續(xù)研究,發(fā)現(xiàn):
①當(dāng)表示負(fù)整數(shù)且時,上述規(guī)律仍舊成立;
②當(dāng)表示分?jǐn)?shù)且時,上述規(guī)律仍舊成立.
請你對小云的兩個發(fā)現(xiàn)進(jìn)行驗證,每個發(fā)現(xiàn)舉出一個算式;
(3)請你參照小云同學(xué)的研究思路,進(jìn)行猜想,驗證、歸納,當(dāng)時, (用含的代數(shù)式表示);
(4)進(jìn)一步進(jìn)行猜想、驗證、歸納,當(dāng)(為有理數(shù))時, (用含,,的代數(shù)式表示)。
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,對角線AC,BD交于點O,AE⊥BC交CB延長線于E,CF∥AE交AD延長線于點F.
(1)求證:四邊形AECF是矩形;
(2)連接OE,若AE=4,AD=5,求OE的長.
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【題目】某班數(shù)學(xué)科代表小芳對本年級同學(xué)參加課外興趣小組活動情況進(jìn)行隨機抽樣調(diào)查,根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)小芳同學(xué)還制作了參加課外興趣小組活動情況的兩個統(tǒng)計圖(見下圖)
(1)此次被調(diào)查的人數(shù)是多少?
(2)將圖②補充完整;
(3)求出圖①中表示“寫作”興趣小組的扇形圓心角度數(shù);
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【題目】隨著通訊技術(shù)迅猛發(fā)展,人與人之間的溝通方式更多樣、便捷.某校數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計了“你最喜歡的溝通方式”調(diào)查問卷(每人必選且只選一種),在全校范圍內(nèi)隨機調(diào)查了部分學(xué)生,將統(tǒng)計結(jié)果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請結(jié)合圖中所給的信息解答下列問題:
(1)這次統(tǒng)計共抽查了 名學(xué)生;在扇形統(tǒng)計圖中,表示“QQ”的扇形圓心角的度數(shù)為 ;
(2)將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)該校共有1500名學(xué)生,請估計該校最喜歡用“微信”進(jìn)行溝通的學(xué)生有多少名?
(4)某天甲、乙兩名同學(xué)都想從“微信”、“QQ”、“電話”三種溝通方式中選一種方式與對方聯(lián)系,請用列表或畫樹狀圖的方法求出甲、乙兩名同學(xué)恰好選中同一種溝通方式的概率.
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