Question

3．如圖1，點(diǎn)P、Q是矩形ABCD的對(duì)角線BD上不重合的兩點(diǎn)，且BP=DQ，點(diǎn)P關(guān)于直線AD、AB的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)E、F，點(diǎn)Q關(guān)于直線BC、CD的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)G、H．
（1）求證：△BFP≌△DHQ
（2）以下說(shuō)法正確的有①②③④．
①點(diǎn)E、D、H三點(diǎn)共線；②EH∥FG；③若AP⊥BD，則四邊形EFGH是矩形；④若四邊形EFGH是菱形，則BD=2AP；⑤四邊形EFGH不可能是正方形．
（3）如圖2，以點(diǎn)E、F、G、H為頂點(diǎn)的四邊形恰好為菱形，且AB=8，AD=6，求PQ的長(zhǎng)．（直接寫出答案，不必說(shuō)明理由）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)得到BP=BF，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠PBF=2∠ABP，同理DQ=DH，∠HDB=2∠CDB，然后根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）由對(duì)稱的性質(zhì)得到∠EDA=∠PDA，同理∠PDC=∠HDC，由四邊形ABCD是矩形，得到∠ADC=90°，于是得到結(jié)論；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠PBF=∠HDQ，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；通過(guò)全等三角形的性質(zhì)得到∠AFB=∠APB=90°，同理∠DHG=90°，于是得到四邊形EFGH是矩形，連接AC，由對(duì)稱的性質(zhì)得AP=AE=AF，推出四邊形ACHE是平行四邊形，得到AC=HE，AC∥HE，等量代換得到結(jié)論；當(dāng)③④同時(shí)成立時(shí)，EFGH為正方形，于是得到⑤錯(cuò)誤；
（3）作A作AM⊥BD于點(diǎn)M，根據(jù)三角形的面積公式得到AM=4.8，由（2）知，AP=$\frac{1}{2}$BD=5，根據(jù)勾股定理得到PM=$\sqrt{A{P}^{2}-A{M}^{2}}$=1.4，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，由等腰三角形的性質(zhì)得到OP=2PM=2.8，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵點(diǎn)P、F關(guān)于AB對(duì)稱，
∴BP=BF，
∴∠PBF=2∠ABP，
同理DQ=DH，∠HDB=2∠CDB，
∵BP=DQ，
∴BF=DH，
∵CD∥AB，
∴∠ABD=∠CDB，
∴∠FBD=∠HDB，
在△BFP與△DHQ中，$\left\{\begin{array}{l}{DH=BF}\\{∠HDB=∠FBD}\\{DQ=BP}\end{array}\right.$，
∴△BFP≌△DHQ；

（2）①②③④，
理由：∵P、E關(guān)于AD對(duì)稱，
∴∠EDA=∠PDA，同理∠PDC=∠HDC，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠EDH=180°，
∴點(diǎn)E、D、H三點(diǎn)共線；故①正確；
由（1）證得△BFP≌△DHQ，
∴∠PBF=∠HDQ，
∴EH∥FG，
故②正確；
∵點(diǎn)P、F關(guān)于AB對(duì)稱，
∴BP=BF，AP=AF，
在△ABP與△ABF中，$\left\{\begin{array}{l}{AP=AF}\\{AB=AB}\\{BP=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ABF，
∴∠AFB=∠APB，
∵AP⊥BD，
∴∠AFB=90°，同理∠DHG=90°，
∵EH∥FG，
∴∠HGF=90°，
∴四邊形EFGH是矩形，故③正確；
如圖1，連接AC，由對(duì)稱的性質(zhì)得AP=AE=AF，
∴A為EF的中點(diǎn)，同理C為HG的中點(diǎn)，
∵四邊形EFGH是菱形，
∴AE=CH，AE∥CH，
∴四邊形ACHE是平行四邊形，
∴AC=HE，AC∥HE，
∵AC=BD，∴BD=EF，
∵EF=2AP，∴BD=2AP，故④正確；
當(dāng)③④同時(shí)成立時(shí)，EFGH為正方形，故⑤錯(cuò)誤；
故答案為：①②③④；

（3）∵AB=8，AD=6，∴BD=10，
如圖2，作A作AM⊥BD于點(diǎn)M，
∵S_△ABD=$\frac{1}{2}$AD•AB=$\frac{1}{2}$BD•AM，
∴AM=4.8，
由（2）知，AP=$\frac{1}{2}$BD=5，
∴PM=$\sqrt{A{P}^{2}-A{M}^{2}}$=1.4，
設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，AO=$\frac{1}{2}$BD=AP，
∴△OAP為等腰三角形，M為OP中點(diǎn)，
∴OP=2PM=2.8，
∵BP=DQ，
∴OQ=OP=2.8，
∴PQ=5.6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵．