Question

6．已知拋物線y=ax²+bx-3a的對稱軸為直線x=1，且經(jīng)過點（0，3）．
（1）求a，b的值；
（2）若拋物線與直線y=-$\frac{1}{m}$（x-3）（m≠0）兩交點的橫坐標為x₁，x₂，n=x₁+x₂-2，P（1，y₀），Q（x₀，$\frac{1}{2}$）兩點在動點M（m，n）所形成的曲線上，求直線PQ的解析式；
（3）若拋物線與x軸交于A，B兩點，C是x軸下方拋物線上的一點，∠ACB=45°，求點C的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用二次函數(shù)的對稱軸的公式，和圖象上點滿足拋物線解析式，列方程求解即可；
（2）利用求兩個函數(shù)圖象的交點坐標是聯(lián)立方程組求解，根據(jù)n=x₁+x₂-2求出m，n的函數(shù)關(guān)系式，再由點P，Q的坐標即可；
（3）根據(jù)△ABC的面積的兩種求法，建立方程即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-3a經(jīng)過點（0，3），
∴-3a=3，
∴a=-1
∵拋物線y=ax²+bx-3a的對稱軸為直線x=1，
∴-$\frac{2a}$=1，
∴b=2，
即：a=-1，b=2；
（2）由（1）有，a=-1，b=1，
∴拋物線y=-x²+2x+3，
∵拋物線與直線y=-$\frac{1}{m}$（x-3）（m≠0）兩交點的橫坐標為x₁，x₂，
∴-x²+2x+3=-$\frac{1}{m}$（x-3），
∴x₁=3，x₂=$\frac{1}{m}$-1，
∵n=x₁+x₂-2，
∴n=3+$\frac{1}{m}$-1-2=$\frac{1}{m}$，
∵P（1，y₀），Q（x₀，$\frac{1}{2}$）兩點在動點M（m，n）所形成的曲線上，
∴y₀=1，x₀=2，
∴P（1，1），Q（2，$\frac{1}{2}$），
∴直線PQ的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$；
（3）∵拋物線y=-x²+2x+3與x軸交于A，B兩點，
∴A（-1，0），B（3，0），
設(shè)點C（c，d），
∴AB=4，AC=$\sqrt{（c+1）^{2}+2zplw1s^{2}}$，BC=$\sqrt{（c-3）^{2}+zxrgcrb^{2}}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB×|yc|=$\frac{1}{2}$×4×|d|=2|d|，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC×BCsin∠ACB=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（c+1）^{2}+jc6nuxz^{2}}$×$\sqrt{（c-3）^{2}+a64tkxm^{2}}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴2|d|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（c+1）^{2}+espgyxt^{2}}$×$\sqrt{（c-3）^{2}+h1wstbu^{2}}$×$\frac{\sqrt{2}}{4}$①，
∵點C在拋物線y=-x²+2x+3上，
∴d=-c²+2c+3②
①②聯(lián)立解得，d=0（舍）或d=-3，
∴c=1±$\sqrt{7}$，
∴C（1-$\sqrt{7}$，-3）或C（1+$\sqrt{7}$，-3）

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的對稱軸的公式，二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積的計算方法，求圖象的交點坐標是解本題的關(guān)鍵．