Question

【題目】在一元二次方程中，有著名的韋達定理:對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果方程有兩個實數(shù)根x1，x2，那么x1+x2=，x1+x2= (說明:定理成立的條件△≥0).比如方程2x2-3x-1=0中，△=17，所以該方程有兩個不等的實數(shù)解.記方程的兩根為x1，x2，那么x1+x2=，x1+x2=.請閱讀材料回答問題:

(1)已知方程x2-3x-2=0的兩根為x1、x2，求下列各式的值:

①x12+x22；②；

(2)已知x1，x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的兩個實數(shù)根.

①是否存在實數(shù)k，使(2x1-x2)(x1-2x2)=成立？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由；

②求使-2的值為整數(shù)的實數(shù)k的整數(shù)值.

Answer 1

【答案】(1)①13；②-；(2)見解析;②k=-2或-3或-5.

【解析】

（1）用韋達定理寫出x1+x2與x1x2的值，把（x1+x2）2進行完全平方公式變形求得①，通分求值求得②．
（2）先求出△＞0時，k的取值范圍，用韋達定理寫出用k表示x1+x2與x1x2的值．①直接把等式左邊展開變形，代入x1+x2與x1x2的式子，即求出k．②化簡式子得到k在分母的分式，根據(jù)式子的值為整數(shù)和k的取值范圍確定k的值．

解：(1)∵x2-3x-2=0，△=(-3)2-4×(-2)=17＞0，∴x1+x2=3，x1x2=-2

①x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=32-2×(-2)=9+4=13；

②==-；

(2)∵方程有兩個實數(shù)根，

∴△=(-4k)2-44k(k+1)＞0；

∴k＜0，x1+x2=1，x1x2=，

①∵(2x1-x2)(x1-2x2)=2x12-5x1x2+2x22=2(x12+2x1x2+x22)-9x1x2=2(x1+x2)2-9x1x2，

∴2-9=，

解得：k=，與k＜0矛盾；

∴不存在k的值，使(2x1-x2)(x1-2x2)=-成立．

②-2======.

∵-2=的值為整數(shù)，

∴k+1=±1或±2或±4，

又∵k＜0，

∴k=-2或-3或-5.