Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（1，4）
（1）求拋物線的解析式．
（2）若拋物線于y軸交于點(diǎn)D，在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PAD周長最小？若存在試求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,軸對稱-最短路線問題

專題：計(jì)算題

分析：（1）把A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-x²+bx+c得到關(guān)于b、c的方程組，然后解方程組即可；
（2）先確定D點(diǎn)坐標(biāo)和拋物線的對稱軸，再確定A點(diǎn)在拋物線上的對稱點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間線段最短可得到CD與直線x=1的交點(diǎn)P能使△PAD周長最小，然后利用待頂系數(shù)法求出CD的解析式，再計(jì)算自變量為1時(shí)的函數(shù)值即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）根據(jù)題意得

-1-b+c=0 -1+b+c=4

，解得

b=2 c=3

，
所以拋物線解析式為y=-x²+2x+3；
（2）存在．
當(dāng)x=0時(shí)，y=-x²+2x+3=3，則D（0，3），
y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，則拋物線的對稱軸為直線x=1，
點(diǎn)A（-1，0）關(guān)于直線x=1的對稱點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），
連結(jié)CD交直線x=1于P，此時(shí)△PAD周長，
設(shè)直線CD的解析式為y=mx+n，
把C（3，0），D（0，3）代入得

3m+n=0 n=3

，解得

m=-1 n=3

，
所以直線CD的解析式為y=-x+3，
當(dāng)x=1時(shí)，y=-x+3=2，
所以此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）．

點(diǎn)評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．