Question

已知，紙片⊙O的半徑為2，如圖1，沿弦AB折疊操作．

（1）①折疊后的所在圓的圓心為O′時(shí)，求O′A的長(zhǎng)度；

     ②如圖2，當(dāng)折疊后的經(jīng)過(guò)圓心為O時(shí)，求的長(zhǎng)度；

     ③如圖3，當(dāng)弦AB=2時(shí)，求圓心O到弦AB的距離；

（2）在圖1中，再將紙片⊙O沿弦CD折疊操作．

①如圖4，當(dāng)AB∥CD，折疊后的與所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，設(shè)點(diǎn)O到弦AB．CD的距離之和為d，求d的值；

②如圖5，當(dāng)AB與CD不平行，折疊后的與所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，設(shè)點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N為CD的中點(diǎn)，試探究四邊形OMPN的形狀，并證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

【答案】

（1）①2，② ，③（2）①2，②平行四邊形，證明見解析

【解析】解：（1）①折疊后的所在圓O′與⊙O是等圓，

∴O′A=OA=2；

②當(dāng)經(jīng)過(guò)圓O時(shí)，折疊后的所在圓O′在⊙O上，如圖2所示，連接O′A．OA．O′B，OB，OO′

∵△OO′A△OO′B為等邊三角形，

∴∠AO′B=∠AO′O+∠BO′O=60°+60°=120°

∴==；

③如圖3所示，連接OA，OB，

∵OA=OB=AB=2，

∴△AOB為等邊三角形，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，

∴OE=OA•sin60°=．

（2）①如圖4，當(dāng)折疊后的與所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，

過(guò)點(diǎn)O作EF⊥AB交AB于點(diǎn)H、交于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)G、交于點(diǎn)F，

即點(diǎn)E、H、P、O、G、F在直徑EF上，

∵AB∥CD，

∴EF垂直平分AB和CD，

根據(jù)垂徑定理及折疊，可知PH=PE，PG=PF，

又∵EF=4，

∴點(diǎn)O到AB．CD的距離之和d為：

d=PH+PG=PE+PF=（PE+PF）=2，

②如圖5，當(dāng)與不平行時(shí)，

四邊形是平行四邊形．

證明如下：

設(shè)O′O″為和所在圓的圓心，

∵點(diǎn)O′與點(diǎn)O關(guān)于AB對(duì)稱，點(diǎn)O″于點(diǎn)O關(guān)于CD對(duì)稱，

∴點(diǎn)M為的OO′中點(diǎn)，點(diǎn)N為OO″的中點(diǎn)

∵折疊后的與所在圓外切，

∴連心線O′O″必過(guò)切點(diǎn)P，

∵折疊后的與所在圓與⊙O是等圓，

∴O′P=O″P=2，∴PM=OO″=ON，PM=ON，

∴四邊形OMPN是平行四邊形．

（1）①折疊后的所在圓O′與⊙O是等圓，可得O′A的長(zhǎng)度；

②如圖2，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB交⊙O于點(diǎn)E，連接OA．OB．AE、BE，可得△OAE、△OBE為等邊三角形，從而得到的圓心角，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可；

③如圖3，連接O′A．O′B，過(guò)點(diǎn)O′作O′E⊥AB于點(diǎn)E，可得△AO′B為等邊三角形，根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)可求折疊后求所在圓的圓心O′到弦AB的距離；

（2）①如圖4，與所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作EF⊥AB交于于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，根據(jù)垂徑定理及折疊，可求點(diǎn)O到AB．CD的距離之和；

②根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可得證．