Question

【題目】如圖，在中，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），過動(dòng)點(diǎn)作交于點(diǎn)

（1）若與相似，則是多少度？

（2）試問：當(dāng)等于多少時(shí)，的面積最大？最大面積是多少？

（3）若以線段為直徑的圓和以線段為直徑的圓相外切，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）60°或30°．（2）PC等于12時(shí)，的面積最大，最大面積是．（3）

【解析】

（1）當(dāng)△ABC與△DAP相似時(shí)，應(yīng)有∠APD=∠B或∠APD=∠C，即∠APD為30°或60°．
（2）設(shè)PC=x，由PD∥BA，得∠BAC=∠PDC=90°，∴AC=BCcos60°=12，CD=xcos60°= x，AD=12-x，而PD=xsin60°=x，∴S△APD=PDAD把PD，AD的值代入，得到S△APD=．∴PC等于12時(shí)，△APD的面積最大，最大面積是18．
（3）設(shè)以BP和AC為直徑的圓心分別為O1、O2，過O2作O2E⊥BC于點(diǎn)E，設(shè)⊙O1的半徑為x，則BP=2x，AC=12，∴O2C=6，∴CE=6cos60°=3．∴由勾股定理得，O2E=，O1E=21-x，由于⊙O1和⊙O2外切，則圓心距O1O2=x+6．在Rt△O1O2E中，有O1O22=O2E2+O1E2，即（x+6）2=（21-x）2+（3）2，求解得到x的值，進(jìn)而求得BP的值．

（1）當(dāng)△ABC與△DAP相似時(shí)，∠APD的度數(shù)是60°或30°．

（2）設(shè)，∵，，∴，

又∵，∴，，

∴，而，

∴．

∴PC等于12時(shí)，的面積最大，最大面積是．

（3）設(shè)以和為直徑的圓心分別為、，過作于點(diǎn)，

設(shè)的半徑為，則．顯然，，∴，∴，

∴，，

又∵和外切，∴．

在中，有，

∴，解得：， ∴