Question

15．如圖，O為坐標原點，四邊形OABC為矩形，A（10，0），C（0，8），點P在邊BC上以每秒1個單位長的速度由點C向點B運動，同時點Q在邊AB上以每秒a個單位長的速度由點A向點B運動，運動時間為t秒（t＞0）．
（1）若反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$圖象經過P點、Q點，求a的值；
（2）若OQ垂直平分AP，求a的值；
（3）當Q點運動到AB中點時，是否存在a使△OPQ為直角三角形？若存在，求出a的值，若不存在請說明理由；

Answer 1

分析 （1）先用t表示出P、Q兩點的坐標，再由反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點即可得出結論；
（2）先根據(jù)OQ垂直平分AP得出OP=OA，求出t的值，再由PQ=QA即可得出a的值；
（3）分∠OPQ=90°與∠POQ=90°兩種情況進行分類討論．

解答 解：（1）∵A（10，0），C（0，8），點P在邊BC上以每秒1個單位長的速度由點C向點B運動，同時點Q在邊AB上以每秒a個單位長的速度由點A向點B運動，
∴P（t，8），Q（10，at），
∵反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$圖象經過P點、Q點，
∴8t=10at，解得a=$\frac{4}{5}$；

（2）∵OQ垂直平分AP，
∴OP=OA，PQ=QA，
∴$\sqrt{{t}^{2}+{8}^{2}}$=10，解得t=6，
∴Q（10，6a），P（6，8），
∵PQ=QA，
∴（10-6）²+（6a-8）²=（6a）²，解得a=$\frac{5}{6}$；

（3）如圖，
∵Q為AB的中點，
∴Q（10，4），P（t，8）．
當∠OPQ=90°時，OP²+PQ²=OQ²，即t²+8²+（10-t）²+4²=10²+4²，整理得，t²-10t+32=0，
∵△=（-10）²-4×32=100-128=-28＜0，
∴此方程無解，即此種情況不存在；
當∠POQ=90°時，OQP²+PQ²=OP²，即10²+4²+（10-t）²+4²=t²+8²，整理得，-20t=-168，解得t=$\frac{42}{5}$，
∵AQ=4，
∴at=4，即$\frac{42}{5}$a=4，解得a=$\frac{10}{21}$．

點評 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點、直角三角形的判定與性質等知識，在解答（3）時要注意進行分類討論．