【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,已知點F(2 ,0),直角GF交y軸正半軸于點G,且∠GFO=30°.
(1)請直接寫出點G的坐標(biāo);
(2)若⊙O的半徑為1,點P是直線GF上的動點,直線PA、PB分別與⊙O相切于點A、B.
①求切線長PB的最小值;
②在直線GF上是否存在點P,使得∠APB=60°?若存在,請求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)解:∵F(2 ,0),
∴OF=2 ,
∵∠GFO=30°,
∴OG=2,
∴點G的坐標(biāo)是(0,2)
(2)解:①連接OPOP,如圖,
∵PB切⊙OO于點BB,
∴OB⊥PB,
根據(jù)勾股定理得PB2=OP2﹣OB2,
∵OB=1,
∴要使BP的值最小,則需OP的值最小,當(dāng)OP⊥GF時,線段PO最短,
在Rt△PFO,OF=2 ,∠GFO=30°,
∴OP= ,
∴PB= = = ;
②存在,
∵PA、PB均與⊙O相切,
∴OP平分∠APB,
∵∠APB=60°,
∴∠OPB=30°,
∵OB=1,∴OP=2,
∴點P是以點O為圓心,2為半徑的圓與直線GF的交點,
即圖中的P1、P2兩點,連接OP2,
∵OG=2,
∴點P1與點G(0,2)重合,即P1(0,2),
在Rt△GOF中,∠GFO=30°,
∴∠OGF=60°,
∵OG=OP2,
∴△GOP2是等邊三角形,
∴GP2=OG=2,已知GF=4,
∴FP2=2,
∴P2為GF的中點,
∴P2( ,1),
綜上所述,滿足條件的點P的坐標(biāo)為(0,2)或( ,1).
【解析】(1)由已知條件得到OF=2 ,解直角三角形即可得到結(jié)論;(2)①連接OPOP,根據(jù)切線的性質(zhì)得到OB⊥PB,當(dāng)OP⊥GF時,線段PO最短,解直角三角形得到OP= ,PB= = =2;
②根據(jù)切線的性質(zhì)和角平分線的定義得到∠OPB=30°,求得OP=2,點P是以點O為圓心,2為半徑的圓與直線GF的交點,由于點P1與點G(0,2)重合,即P1(0,2),推出△GOP2是等邊三角形求得FP2=2,即可得到結(jié)論.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與坐標(biāo)軸交于、兩點,與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像交于點,反比例函數(shù)圖像上有一點,連接和,已知: .
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.
(2)求△AOD的面積.
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【題目】將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊,AE,EF為折痕,∠BAE=30°,AB= ,折疊后,點C落在AD邊上的C1處,并且點B落在EC1邊上的B1處.則BC的長為( )
A.
B.2
C.3
D.2
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【題目】“先看到閃電,后聽到雷聲”,那是因為在空氣中光的傳播速度比聲音快.科學(xué)家發(fā)現(xiàn),光在空氣里的傳播速度約為3×108米/秒,而聲音在空氣里的傳播速度大約為3×102米/秒.在空氣中光的速度是聲速的_____倍.
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【題目】在我市開展“陽光”活動中,為解中學(xué)生活動開展情況,隨機抽查全市八年級部分同學(xué)1分鐘,將抽查結(jié)果進行,并繪制兩個不完整圖.請根據(jù)圖中提供信息,解答問題:
(1)本次共抽查多少名學(xué)生?
(2)請補全直方圖空缺部分,直接寫扇形圖中范圍135≤x<155所在扇形圓心角度數(shù).
(3)若本次抽查中,在125次以上(含125次)為優(yōu)秀,請你估計全市8000名八年級學(xué)生中有多少名學(xué)生成績?yōu)閮?yōu)秀?
(4)請你根據(jù)以上信息,對我市開展學(xué)生活動談?wù)勛约嚎捶ɑ蚪ㄗh
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