Question

【題目】在矩形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，H為BE上的一點(diǎn)， ，連接CH并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G，連接GE并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．

（1）求證： ；
（2）若∠CGF=90°，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴CD∥AB，AD=BC，AB=CD，AD∥BC，

∴△CEH∽△GBH，

∴

（2）解：作EM⊥AB于M，如圖所示：

則EM=BC=AD，AM=DE，

∵E為CD的中點(diǎn)，

∴DE=CE，

設(shè)DE=CE=3a，則AB=CD=6a，

由（1）得： =3，

∴BG= CE=a，

∴AG=5a，

∵∠EDF=90°=∠CGF，∠DEF=∠GEC，

∴△DEF∽△GEC，

∴ ，

∴EGEF=DEEC，

∵CD∥AB，

∴ = ，

∴ ，

∴EF= EG，

∴EG EG=3a3a，

解得：EG= a，

在Rt△EMG中，GM=2a，

∴EM= = a，

∴BC= a，

∴ = =3 ．

【解析】（1）根據(jù)相似三角形判定的方法，判斷出△CEH∽△GBH，即可推得 ．（2）作EM⊥AB于M，則EM=BC=AD，AM=DE，設(shè)DE=CE=3a，則AB=CD=6a，由（1）得： =3，得出BG= CE=a，AG=5a，證明△DEF∽△GEC，由相似三角形的性質(zhì)得出EGEF=DEEC，由平行線(xiàn)證出 ，得出EF= EG，求出EG= a，在Rt△EMG中，GM=2a，由勾股定理求出BC=EM= a，即可得出結(jié)果．此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)勾股定理等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形相似是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解矩形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)角線(xiàn)相等，以及對(duì)相似三角形的判定與性質(zhì)的理解，了解相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線(xiàn)段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．